Theorem f1oeq1 3675

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions.

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	|- (F = G -> (F:A-1-1-onto->B <-> G:A-1-1-onto->B))

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 3651	. . 3 |- (F = G -> (F:A-1-1->B <-> G:A-1-1->B))
2		foeq1 3659	. . 3 |- (F = G -> (F:A-onto->B <-> G:A-onto->B))
3	1, 2	anbi12d 627	. 2 |- (F = G -> ((F:A-1-1->B /\ F:A-onto->B) <-> (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B)))
4		df-f1o 3192	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B <-> (F:A-1-1->B /\ F:A-onto->B))
5		df-f1o 3192	. 2 |- (G:A-1-1-onto->B <-> (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B))
6	3, 4, 5	3bitr4g 554	1 |- (F = G -> (F:A-1-1-onto->B <-> G:A-1-1-onto->B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954  -1-1->wf1 3174  -onto->wfo 3175  -1-1-onto->wf1o 3176

This theorem is referenced by:  f1ocnvb 3693  f1orescnv 3695  f1ovi 3709  fsn 3825  isoeq1 3878  mapsn 4335  enrefg 4377  f1oen2g 4381  ensn1 4411  unen 4420  php3 4501  ssfi 4521  unfilem3 4532  numthlem 4763  icoshftf1olem 6351  unbenlem 7455  infxpidmlem2 7504  shftefif1olem 8680  logrn 8690  eff1o2 8693  logf1o 8694  relogf1o 8696  hoif 9620  elgiso 10332  elsymgrn 10335  ishomeo 10440  homcard 10462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192

Copyright terms: Public domain