MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oeq1 Structured version   Unicode version

Theorem f1oeq1 5657
Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1oeq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  G : A -1-1-onto-> B ) )

Proof of Theorem f1oeq1
StepHypRef Expression
1 f1eq1 5626 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )
2 foeq1 5641 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -onto-> B  <->  G : A -onto-> B ) )
31, 2anbi12d 692 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B )  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) ) )
4 df-f1o 5453 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  ( F : A -1-1-> B  /\  F : A -onto-> B ) )
5 df-f1o 5453 . 2  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )
63, 4, 53bitr4g 280 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-onto-> B  <->  G : A -1-1-onto-> B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445
This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5663  f1ocnvb  5680  f1orescnv  5682  resin  5689  f1ovi  5706  f1osng  5708  fsn  5898  fveqf1o  6021  isoeq1  6031  oacomf1o  6800  mapsn  7047  mapsnf1o3  7054  f1oen3g  7115  ensn1  7163  xpcomf1o  7189  omf1o  7203  domss2  7258  php3  7285  isinf  7314  ssfi  7321  oef1o  7647  cnfcomlem  7648  cnfcom  7649  cnfcom2  7651  cnfcom3  7653  cnfcom3clem  7654  infxpenc  7891  infxpenc2lem2  7893  infxpenc2  7895  ackbij2lem2  8112  ackbij2  8115  canthp1lem2  8520  pwfseqlem5  8530  pwfseq  8531  seqf1olem2  11355  seqf1o  11356  hasheqf1oi  11627  hashf1rn  11628  hashfacen  11695  summo  12503  fsum  12506  ackbijnn  12599  bitsf1ocnv  12948  sadcaddlem  12961  unbenlem  13268  setcinv  14237  yonffthlem  14371  grplactcnv  14879  eqgen  14985  isgim  15041  elsymgbas2  15088  cayleyth  15105  gsumval3eu  15505  gsumval3  15506  islmim  16126  coe1mul2lem2  16653  znunithash  16837  tgpconcompeqg  18133  resinf1o  20430  efif1olem4  20439  logf1o  20454  relogf1o  20456  dvlog  20534  nbgraf1o0  21448  cusgrafilem3  21482  iseupa  21679  eupares  21689  eupap1  21690  hoif  23249  indf1o  24413  derangenlem  24849  subfacp1lem2a  24858  subfacp1lem3  24860  subfacp1lem5  24862  subfacp1lem6  24863  subfacp1  24864  elgiso  25099  prodmo  25254  fprod  25259  isismty  26501  ismrer1  26538  isrngoiso  26585  eldioph2lem1  26809  enfixsn  27225  pwfi2f1o  27228  frgrancvvdeqlem9  28367  islaut  30817  ispautN  30833  hvmap1o  32498
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator