Theorem f1oi 3708

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function.

Assertion

Ref	Expression
f1oi	|- (I |` A):A-1-1-onto->A

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o3 3685	. 2 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
2		df-fo 3191	. . 3 |- ((I |` A):A-onto->A <-> ((I |` A) Fn A /\ ran ( I |` A) = A))
3		fnresi 3595	. . 3 |- (I |` A) Fn A
4		rnresi 3410	. . 3 |- ran ( I |` A) = A
5	2, 3, 4	mpbir2an 729	. 2 |- (I |` A):A-onto->A
6		funi 3537	. . . 4 |- Fun I
7		cnvi 3439	. . . . 5 |- `'I = I
8		funeq 3527	. . . . 5 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun `'I <-> Fun I)
10	6, 9	mpbir 190	. . 3 |- Fun `'I
11		funres11 3559	. . 3 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- Fun `'(I |` A)
13	1, 5, 12	mpbir2an 729	1 |- (I |` A):A-1-1-onto->A

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 954  Icid 2826  `'ccnv 3164  ran crn 3166   |` cres 3167  Fun wfun 3171   Fn wfn 3172  -onto->wfo 3175  -1-1-onto->wf1o 3176

This theorem is referenced by:  f1ovi 3709  isoid 3886  enrefg 4377  idssen 4393  ssdomg 4395  acdc2lem2 7439  acdc5lem2 7442  hoif 9620  idunop 9841  idcnop 9844  elunop2t 9876  ghomsn 10322  symggrpi 10340  symgidi 10341  idhme 10445  hmphre 10453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192

Copyright terms: Public domain