Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1omvdco2 Unicode version

Theorem f1omvdco2 27306
Description: If exactly one of two permutations is limited to a set of points, then the composition will not be. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )

Proof of Theorem f1omvdco2
StepHypRef Expression
1 excxor 1318 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  <->  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X ) ) )
2 coass 5379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
3 f1ococnv1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
43coeq1d 5025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  G
) )
5 f1of 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G : A
--> A )
6 fcoi2 5609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> A  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
84, 7sylan9eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  F )  o.  G
)  =  G )
92, 8syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
)  =  G )
109difeq1d 3456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  ( G  \  _I  ) )
1110dmeqd 5063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
13 mvdco 27303 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  ( dom  ( `' F  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )
14 f1omvdcnv 27302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
16 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
1715, 16eqsstrd 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  C_  X )
18 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
1917, 18unssd 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( `' F  \  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )  C_  X
)
2013, 19syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  X )
2112, 20eqsstr3d 3375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
2221expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )
2322con3d 127 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
2423expimpd 587 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
25 coass 5379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  =  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )
26 f1ococnv2 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  A )
)
2726coeq2d 5026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  A ) ) )
28 f1of 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
29 fcoi1 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> A  -> 
( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3127, 30sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  F )
3225, 31syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( F  o.  G
)  o.  `' G
)  =  F )
3332difeq1d 3456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( F  \  _I  ) )
3433dmeqd 5063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
3534adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
36 mvdco 27303 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  ( dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )
37 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
38 f1omvdcnv 27302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  ) )
3938ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  )
)
40 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
4139, 40eqsstrd 3374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  C_  X )
4237, 41unssd 3515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )  C_  X
)
4336, 42syl5ss 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  X )
4435, 43eqsstr3d 3375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
4544expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X ) )
4645con3d 127 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4746expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4847ancomsd 441 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4924, 48jaod 370 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
501, 49syl5bi 209 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
51503impia 1150 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  \/_  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    \/_ wxo 1313    = wceq 1652    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312    _I cid 4485   `'ccnv 4868   dom cdm 4869    |` cres 4871    o. ccom 4873   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444
This theorem is referenced by:  f1omvdco3  27307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-xor 1314  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator