MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oprswap Unicode version

Theorem f1oprswap 5595
Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oprswap  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )

Proof of Theorem f1oprswap
StepHypRef Expression
1 f1osng 5594 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A } )
21anidms 626 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
32ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
4 dfsn2 3730 . . . . . . 7  |-  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }
5 opeq2 3876 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq1 3875 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
75, 6preq12d 3790 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
84, 7syl5eq 2402 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
9 f1oeq1 5543 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } ) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } ) )
11 dfsn2 3730 . . . . . . 7  |-  { A }  =  { A ,  A }
12 preq2 3783 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
1311, 12syl5eq 2402 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
14 f1oeq2 5544 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A } ) )
15 f1oeq3 5545 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } ) )
1614, 15bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1713, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1810, 17bitrd 244 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1918adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
203, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
21 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  e.  V )
22 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  =/=  B )
24 fnprg 5384 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
2521, 22, 22, 21, 23, 24syl221anc 1193 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
26 cnvsng 5237 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
27 cnvsng 5237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2827ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2926, 28uneq12d 3406 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } ) )
30 uncom 3395 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
3129, 30syl6eq 2406 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
33 df-pr 3723 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
3433cnveqi 4935 . . . . . . 7  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  `' ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
35 cnvun 5165 . . . . . . 7  |-  `' ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3634, 35eqtri 2378 . . . . . 6  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3732, 36, 333eqtr4g 2415 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
3837fneq1d 5414 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
) )
3925, 38mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
40 dff1o4 5560 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } 
<->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  /\  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B } ) )
4125, 39, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
4220, 41pm2.61dane 2599 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    u. cun 3226   {csn 3716   {cpr 3717   <.cop 3719   `'ccnv 4767    Fn wfn 5329   -1-1-onto->wf1o 5333
This theorem is referenced by:  fveqf1o  5890  subfacp1lem2a  24115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pr 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-br 4103  df-opab 4157  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341
  Copyright terms: Public domain W3C validator