Theorem f1osn 3704

Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function.

Hypotheses

Ref	Expression
f1osn.1	|- A e. V
f1osn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
f1osn	|- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}

Proof of Theorem f1osn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o4 3681	. 2 |- ({<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B} <-> ({<.A, B>.} Fn {A} /\ `'{<.A, B>.} Fn {B}))
2		df-fn 3183	. . 3 |- ({<.A, B>.} Fn {A} <-> (Fun {<.A, B>.} /\ dom {<.A, B>.} = {A}))
3		f1osn.1	. . . 4 |- A e. V
4		f1osn.2	. . . 4 |- B e. V
5	3, 4	funsn 3529	. . 3 |- Fun {<.A, B>.}
6		dmsnop 3317	. . 3 |- dom {<.A, B>.} = {A}
7	2, 5, 6	mpbir2an 728	. 2 |- {<.A, B>.} Fn {A}
8		df-fn 3183	. . . 4 |- ({<.B, A>.} Fn {B} <-> (Fun {<.B, A>.} /\ dom {<.B, A>.} = {B}))
9	4, 3	funsn 3529	. . . 4 |- Fun {<.B, A>.}
10		dmsnop 3317	. . . 4 |- dom {<.B, A>.} = {B}
11	8, 9, 10	mpbir2an 728	. . 3 |- {<.B, A>.} Fn {B}
12	3, 4	cnvsn 3435	. . . 4 |- `'{<.A, B>.} = {<.B, A>.}
13		fneq1 3568	. . . 4 |- (`'{<.A, B>.} = {<.B, A>.} -> (`'{<.A, B>.} Fn {B} <-> {<.B, A>.} Fn {B}))
14	12, 13	ax-mp 7	. . 3 |- (`'{<.A, B>.} Fn {B} <-> {<.B, A>.} Fn {B})
15	11, 14	mpbir 190	. 2 |- `'{<.A, B>.} Fn {B}
16	1, 7, 15	mpbir2an 728	1 |- {<.A, B>.}:{A}-1-1-onto->{B}

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802  {csn 2399  <.cop 2401  `'ccnv 3159  dom cdm 3160  Fun wfun 3166   Fn wfn 3167  -1-1-onto->wf1o 3171

This theorem is referenced by:  fvsnun2 3781  fsn 3819  fopabsn 3825  mapsn 4329  ensn1 4405  phplem2 4489  pssnn 4513  acdc2lem2 7431  acdc5lem2 7434  ruclem6 7458  grpsn 8061  ablsn 8062  1alg 10498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187

Copyright terms: Public domain