Theorem f1owe 3900

Description: Well-ordering of isomorphic relations.

Hypothesis

Ref	Expression
f1owe.1	|- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}

Assertion

Ref	Expression
f1owe	|- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem f1owe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3719	. . . . . 6 |- (x = z -> (F` x) = (F` z))
2	1	breq1d 2625	. . . . 5 |- (x = z -> ((F` x)S(F` y) <-> (F` z)S(F` y)))
3		fveq2 3719	. . . . . 6 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
4	3	breq2d 2626	. . . . 5 |- (y = w -> ((F` z)S(F` y) <-> (F` z)S(F` w)))
5		f1owe.1	. . . . 5 |- R = {<.x, y>. | (F` x)S(F` y)}
6	2, 4, 5	brabg 2814	. . . 4 |- ((z e. A /\ w e. A) -> (zRw <-> (F` z)S(F` w)))
7	6	rgen2a 1697	. . 3 |- A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))
8		df-iso 3195	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) <-> (F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))))
9		isowe 3898	. . . 4 |- (F Isom R, S (A, B) -> (R We A <-> S We B))
10	8, 9	sylbir 201	. . 3 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (F` z)S(F` w))) -> (R We A <-> S We B))
11	7, 10	mpan2 695	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (R We A <-> S We B))
12	11	biimprd 154	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> (S We B -> R We A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955  A.wral 1643   class class class wbr 2615  {copab 2662   We wwe 2912  -1-1-onto->wf1o 3177  ` cfv 3178   Isom wiso 3179

This theorem is referenced by:  weth 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-iso 3195

Copyright terms: Public domain