MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccl Unicode version

Theorem faccl 11531
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )

Proof of Theorem faccl
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
21eleq1d 2470 . 2  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  0 )  e.  NN ) )
3 fveq2 5687 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
43eleq1d 2470 . 2  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  k )  e.  NN ) )
5 fveq2 5687 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
65eleq1d 2470 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
7 fveq2 5687 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
87eleq1d 2470 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  NN ) )
9 fac0 11524 . . 3  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 1nn 9967 . . 3  |-  1  e.  NN
119, 10eqeltri 2474 . 2  |-  ( ! `
 0 )  e.  NN
12 facp1 11526 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1312adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
14 nn0p1nn 10215 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
15 nnmulcl 9979 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
1614, 15sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1713, 16eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1817expcom 425 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 10322 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   !cfa 11521
This theorem is referenced by:  facne0  11532  facdiv  11533  facndiv  11534  facwordi  11535  faclbnd  11536  faclbnd2  11537  faclbnd3  11538  faclbnd4lem1  11539  faclbnd5  11544  faclbnd6  11545  facubnd  11546  facavg  11547  bcrpcl  11554  bccmpl  11555  bcn0  11556  bcn1  11559  bcm1k  11561  bcp1n  11562  bcval5  11564  permnn  11572  hashf1  11661  hashfac  11662  eftcl  12631  reeftcl  12632  eftabs  12633  efcllem  12635  ef0lem  12636  ege2le3  12647  efcj  12649  efaddlem  12650  eftlub  12665  effsumlt  12667  eflegeo  12677  ef01bndlem  12740  eirrlem  12758  dvdsfac  12859  prmfac1  13073  pcfac  13223  pcbc  13224  infpnlem1  13233  infpnlem2  13234  prmunb  13237  2expltfac  13381  gexcl3  15176  aaliou3lem1  20212  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem3  20214  aaliou3lem8  20215  aaliou3lem5  20217  aaliou3lem6  20218  aaliou3lem7  20219  aaliou3lem9  20220  taylfvallem1  20226  tayl0  20231  taylply2  20237  taylply  20238  dvtaylp  20239  taylthlem2  20243  advlogexp  20499  birthdaylem2  20744  wilthlem3  20806  wilth  20807  chtublem  20948  logfacubnd  20958  logfaclbnd  20959  logfacbnd3  20960  logfacrlim  20961  logexprlim  20962  bcmono  21014  bposlem3  21023  vmadivsum  21129  subfacval2  24826  subfaclim  24827  subfacval3  24828  4bc2eq6  25157  faclim2  25315  wallispi2lem2  27688  stirlinglem2  27691  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem13  27702  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-fac 11522
  Copyright terms: Public domain W3C validator