MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccl Structured version   Unicode version

Theorem faccl 11576
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )

Proof of Theorem faccl
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
21eleq1d 2502 . 2  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  0 )  e.  NN ) )
3 fveq2 5728 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
43eleq1d 2502 . 2  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  k )  e.  NN ) )
5 fveq2 5728 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
65eleq1d 2502 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
7 fveq2 5728 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
87eleq1d 2502 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  NN ) )
9 fac0 11569 . . 3  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 1nn 10011 . . 3  |-  1  e.  NN
119, 10eqeltri 2506 . 2  |-  ( ! `
 0 )  e.  NN
12 facp1 11571 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1312adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
14 nn0p1nn 10259 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
15 nnmulcl 10023 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
1614, 15sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1713, 16eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1817expcom 425 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 10366 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   NNcn 10000   NN0cn0 10221   !cfa 11566
This theorem is referenced by:  facne0  11577  facdiv  11578  facndiv  11579  facwordi  11580  faclbnd  11581  faclbnd2  11582  faclbnd3  11583  faclbnd4lem1  11584  faclbnd5  11589  faclbnd6  11590  facubnd  11591  facavg  11592  bcrpcl  11599  bccmpl  11600  bcn0  11601  bcn1  11604  bcm1k  11606  bcp1n  11607  bcval5  11609  permnn  11617  hashf1  11706  hashfac  11707  eftcl  12676  reeftcl  12677  eftabs  12678  efcllem  12680  ef0lem  12681  ege2le3  12692  efcj  12694  efaddlem  12695  eftlub  12710  effsumlt  12712  eflegeo  12722  ef01bndlem  12785  eirrlem  12803  dvdsfac  12904  prmfac1  13118  pcfac  13268  pcbc  13269  infpnlem1  13278  infpnlem2  13279  prmunb  13282  2expltfac  13426  gexcl3  15221  aaliou3lem1  20259  aaliou3lem2  20260  aaliou3lem3  20261  aaliou3lem8  20262  aaliou3lem5  20264  aaliou3lem6  20265  aaliou3lem7  20266  aaliou3lem9  20267  taylfvallem1  20273  tayl0  20278  taylply2  20284  taylply  20285  dvtaylp  20286  taylthlem2  20290  advlogexp  20546  birthdaylem2  20791  wilthlem3  20853  wilth  20854  chtublem  20995  logfacubnd  21005  logfaclbnd  21006  logfacbnd3  21007  logfacrlim  21008  logexprlim  21009  bcmono  21061  bposlem3  21070  vmadivsum  21176  subfacval2  24873  subfaclim  24874  subfacval3  24875  4bc2eq6  25204  bcfallfac  25360  fallfacfac  25361  faclim2  25367  wallispi2lem2  27797  stirlinglem2  27800  stirlinglem3  27801  stirlinglem4  27802  stirlinglem13  27811  stirlinglem14  27812  stirlinglem15  27813  stirlingr  27815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-seq 11324  df-fac 11567
  Copyright terms: Public domain W3C validator