Theorem faclbnd2 6891

Description: A lower bound for the factorial function.

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) <_ (!` N))

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 5935	. . . . . 6 |- 2 e. CC
2		expp1t 6514	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ N e. NN0) -> (2^(N + 1)) = ((2^N) x. 2))
3	1, 2	mpan 694	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) = ((2^N) x. 2))
4	3	opreq1d 3966	. . . 4 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2 x. 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
5		sq2 6577	. . . . . 6 |- (2^2) = 4
6		2t2e4 5977	. . . . . 6 |- (2 x. 2) = 4
7	5, 6	eqtr4 1495	. . . . 5 |- (2^2) = (2 x. 2)
8	7	opreq2i 3963	. . . 4 |- ((2^(N + 1)) / (2^2)) = ((2^(N + 1)) / (2 x. 2))
9	4, 8	syl5eq 1516	. . 3 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2^2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
10		expclt 6521	. . . . 5 |- ((2 e. CC /\ N e. NN0) -> (2^N) e. CC)
11	1, 10	mpan 694	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (2^N) e. CC)
12	1, 1	pm3.2i 285	. . . . . 6 |- (2 e. CC /\ 2 e. CC)
13		2ne0 5945	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
14	13, 13	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (2 =/= 0 /\ 2 =/= 0)
15		divmuldivt 5744	. . . . . . 7 |- (((((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) /\ (2 e. CC /\ 2 e. CC)) /\ (2 =/= 0 /\ 2 =/= 0)) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
16	14, 15	mpan2 695	. . . . . 6 |- ((((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) /\ (2 e. CC /\ 2 e. CC)) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
17	12, 16	mpan2 695	. . . . 5 |- (((2^N) e. CC /\ 2 e. CC) -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
18	1, 17	mpan2 695	. . . 4 |- ((2^N) e. CC -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
19	11, 18	syl 10	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) x. 2) / (2 x. 2)))
20		halfclt 5988	. . . . 5 |- ((2^N) e. CC -> ((2^N) / 2) e. CC)
21		ax1id 5262	. . . . 5 |- (((2^N) / 2) e. CC -> (((2^N) / 2) x. 1) = ((2^N) / 2))
22	11, 20, 21	3syl 20	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. 1) = ((2^N) / 2))
23	1, 13	divid 5734	. . . . 5 |- (2 / 2) = 1
24	23	opreq2i 3963	. . . 4 |- (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = (((2^N) / 2) x. 1)
25	22, 24	syl5eq 1516	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^N) / 2) x. (2 / 2)) = ((2^N) / 2))
26	9, 19, 25	3eqtr2rd 1511	. 2 |- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) = ((2^(N + 1)) / (2^2)))
27		2nn0 6070	. . . 4 |- 2 e. NN0
28		faclbnd 6890	. . . 4 |- ((2 e. NN0 /\ N e. NN0) -> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N)))
29	27, 28	mpan 694	. . 3 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N)))
30		4re 5937	. . . . . 6 |- 4 e. RR
31	5, 30	eqeltr 1541	. . . . 5 |- (2^2) e. RR
32		4pos 5947	. . . . . . 7 |- 0 < 4
33	32, 5	breqtrr 2635	. . . . . 6 |- 0 < (2^2)
34		ledivmult 5828	. . . . . 6 |- ((((2^(N + 1)) e. RR /\ (2^2) e. RR /\ (!` N) e. RR) /\ 0 < (2^2)) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
35	33, 34	mpan2 695	. . . . 5 |- (((2^(N + 1)) e. RR /\ (2^2) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
36	31, 35	mp3an2 902	. . . 4 |- (((2^(N + 1)) e. RR /\ (!` N) e. RR) -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
37		peano2nn0 6079	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (N + 1) e. NN0)
38		2re 5934	. . . . . 6 |- 2 e. RR
39		reexpclt 6520	. . . . . 6 |- ((2 e. RR /\ (N + 1) e. NN0) -> (2^(N + 1)) e. RR)
40	38, 39	mpan 694	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN0 -> (2^(N + 1)) e. RR)
41	37, 40	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (2^(N + 1)) e. RR)
42		facclt 6885	. . . . 5 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. NN)
43		nnret 5885	. . . . 5 |- ((!` N) e. NN -> (!` N) e. RR)
44	42, 43	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN0 -> (!` N) e. RR)
45	36, 41, 44	sylanc 471	. . 3 |- (N e. NN0 -> (((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N) <-> (2^(N + 1)) <_ ((2^2) x. (!` N))))
46	29, 45	mpbird 196	. 2 |- (N e. NN0 -> ((2^(N + 1)) / (2^2)) <_ (!` N))
47	26, 46	eqbrtrd 2630	1 |- (N e. NN0 -> ((2^N) / 2) <_ (!` N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277   < clt 5466  2c2 5916  4c4 5918  ^cexp 6508  !cfa 6876

This theorem is referenced by:  erelem3 7271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-fac 6877

Copyright terms: Public domain