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Theorem faclbnd4lem3 11324
Description: Lemma for faclbnd4 11326. The  N  =  0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9983 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  NN  \/  K  =  0 ) )
2 0exp 11153 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  (
0 ^ K )  =  0 )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( 0 ^ K
)  =  0 )
4 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
5 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
6 nn0expcl 11133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN0 )
75, 6mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K ^ 2 )  e. 
NN0 )
8 nn0expcl 11133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN0 )
95, 7, 8sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e. 
NN0 )
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN0 )
11 nn0addcl 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
12 nn0expcl 11133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN0 )
1311, 12syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN0 )
1410, 13nn0mulcld 10039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN0 )
154, 14sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN0 )
1615nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
173, 16eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( 0 ^ K
)  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
18 1nn 9773 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
19 elnn0 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
20 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
21 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( M  +  0 )  e.  NN0 )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  0 )  e.  NN0 )
24 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( M  +  0
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  0 ) )  e.  NN )
2523, 24mpdan 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  e.  NN )
26 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  0  ->  M  =  0 )
27 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  =  0  ->  ( M  +  0 )  =  ( 0  +  0 ) )
28 00id 9003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  0  ->  ( M  +  0 )  =  0 )
3026, 29oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  =  ( 0 ^ 0 ) )
31 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
32 exp0 11124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0 ^ 0 )  =  1 )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
3430, 33syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  =  1 )
3534, 18syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  e.  NN )
3625, 35jaoi 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( M ^
( M  +  0 ) )  e.  NN )
3719, 36sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  e.  NN )
38 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( M ^ ( M  +  0 ) )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) )  e.  NN )
3918, 37, 38sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) )  e.  NN )
4039nnge1d 9804 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  =  0 )  ->  1  <_  (
1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) )
42 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  (
0 ^ K )  =  ( 0 ^ 0 ) )
4342, 33syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
0 ^ K )  =  1 )
44 sq0i 11212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  0  ->  ( K ^ 2 )  =  0 )
4544oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ 0 ) )
46 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
47 exp0 11124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
4945, 48syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  1 )
50 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  ( M  +  K )  =  ( M  + 
0 ) )
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( M ^ ( M  +  K ) )  =  ( M ^ ( M  +  0 ) ) )
5249, 51oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  =  ( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) )
5343, 52breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( 0 ^ K
)  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  <->  1  <_  ( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) ) )
5453adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  =  0 )  ->  ( ( 0 ^ K )  <_ 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  <->  1  <_  ( 1  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) ) ) )
5541, 54mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  =  0 )  ->  ( 0 ^ K )  <_  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
5617, 55jaodan 760 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN  \/  K  =  0
) )  ->  (
0 ^ K )  <_  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )
571, 56sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ K
)  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
58 nn0cn 9991 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
5958exp0d 11255 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ 0 )  =  1 )
6059oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  =  ( ( 0 ^ K )  x.  1 ) )
61 nn0expcl 11133 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ K
)  e.  NN0 )
6221, 61mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 0 ^ K )  e. 
NN0 )
6362nn0cnd 10036 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 0 ^ K )  e.  CC )
6463mulid1d 8868 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ K )  x.  1 )  =  ( 0 ^ K
) )
6560, 64sylan9eq 2348 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^ 0 ) )  =  ( 0 ^ K ) )
6614nn0cnd 10036 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC )
6766mulid1d 8868 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
6857, 65, 673brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^ 0 ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  1 ) )
6968adantr 451 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( (
0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) )
70 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ K )  =  ( 0 ^ K
) )
71 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( M ^ 0 ) )
7270, 71oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^ 0 ) ) )
73 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
74 fac0 11307 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
7573, 74syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  1 )
7675oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) )
7772, 76breq12d 4052 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( (
0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) ) )
7877adantl 452 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( (
0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) ) )
7969, 78mpbird 223 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   !cfa 11304
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11325  faclbnd4  11326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305
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