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Theorem faclim 25354
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim
Dummy variables  a 
b  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2 seqeq3 11316 . . 3  |-  ( F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  F )  =  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  x.  ,  F
)  =  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )
4 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
0 ) )
5 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  /  n )  =  ( 0  /  n ) )
65oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) )
74, 6oveq12d 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )
87mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) ) )
98seqeq3d 11319 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5719 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  ( ! ` 
0 ) )
11 fac0 11557 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
1210, 11syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  1 )
139, 12breq12d 4217 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
14 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m ) )
15 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  (
a  /  n )  =  ( m  /  n ) )
1615oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  n
) ) )
1714, 16oveq12d 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
1817mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )
1918seqeq3d 11319 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) )
20 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  m ) )
2119, 20breq12d 4217 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) ) )
22 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
23 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
a  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  /  n ) )
2423oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) )
2522, 24oveq12d 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
2625mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )
2726seqeq3d 11319 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
2927, 28breq12d 4217 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
30 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A ) )
31 oveq1 6079 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  /  n )  =  ( A  /  n ) )
3231oveq2d 6088 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( A  /  n
) ) )
3330, 32oveq12d 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )
3433mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  ( 1  +  ( A  /  n
) ) ) ) )
3534seqeq3d 11319 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
36 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
3735, 36breq12d 4217 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) ) )
38 1re 9079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 nnrecre 10025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
4139, 40readdcld 9104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
4241recnd 9103 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  CC )
4342exp0d 11505 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  =  1 )
44 nncn 9997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
45 nnne0 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4644, 45div0d 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  /  n )  =  0 )
4746oveq2d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  ( 1  +  0 ) )
48 ax-1cn 9037 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4948addid1i 9242 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5047, 49syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  1 )
5143, 50oveq12d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
5248div1i 9731 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  1 )
5453mpteq2ia 4283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
55 fconstmpt 4912 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
5654, 55eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( NN  X.  { 1 } )
57 seqeq3 11316 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { 1 } )  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) )
59 nnuz 10510 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10300 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6259, 61climprod1 25277 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
6362trud 1332 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1
6458, 63eqbrtri 4223 . . 3  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1
6560a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m ) )
67 seqex 11313 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  e.  _V )
69 faclimlem2 25352 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( m  +  1 ) )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( m  + 
1 ) )
71 elnnuz 10511 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  <->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7271biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7372adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  a  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
74 1rp 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
76 nnrp 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7776rpreccld 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )
7975, 78rpaddcld 10652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
80 nn0z 10293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
8279, 81rpexpcld 11534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  e.  RR+ )
8348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
84 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
8584nn0red 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
86 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8785, 86nndivred 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  RR )
8887recnd 9103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  CC )
8983, 88addcomd 9257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  =  ( ( m  /  n )  +  1 ) )
9076adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
91 nn0ge0 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  m )
9385, 90, 92divge0d 10673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( m  /  n ) )
9487, 93ge0p1rpd 10663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  /  n )  +  1 )  e.  RR+ )
9589, 94eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  e.  RR+ )
9682, 95rpdivcld 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  RR+ )
9796rpcnd 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  CC )
98 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
9997, 98fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
100 elfznn 11069 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 1 ... a )  ->  b  e.  NN )
101 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
10299, 100, 101syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
103102adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
104 mulcl 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( b  x.  x
)  e.  CC )
105104adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( b  x.  x
)  e.  CC )
10673, 103, 105seqcl 11331 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
107106adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
10895, 79rpmulcld 10653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
109 nn0p1nn 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
111 rpdivcl 10623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
112110, 76, 111syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  /  n
)  e.  RR+ )
11375, 112rpaddcld 10652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  e.  RR+ )
114108, 113rpdivcld 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR+ )
115114rpcnd 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  CC )
116 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
117115, 116fmptd 5884 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
118 ffvelrn 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
119117, 100, 118syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
120119adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
12173, 120, 105seqcl 11331 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
122121adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
123 faclimlem3 25353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  / 
b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) ) )
124 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
b ) )
125124oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )
126125oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
127 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  / 
b ) )
128127oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )
129126, 128oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
130 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
131 ovex 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
132129, 130, 131fvmpt 5797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
133132adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) )
134125oveq1d 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m ) )
135 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
m  /  n )  =  ( m  / 
b ) )
136135oveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( m  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )
137134, 136oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) ) )
138 ovex 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )  e. 
_V
139137, 98, 138fvmpt 5797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) ) )
140136, 125oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( m  / 
b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ) )
141140, 128oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
142 ovex 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
143141, 116, 142fvmpt 5797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
144139, 143oveq12d 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( m  /  b
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) ) )
146123, 133, 1453eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) ) )
147100, 146sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) ) )
148147adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b ) ) )
14973, 103, 120, 148prodfmul 25207 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a ) ) )
150149adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a
) ) )
15159, 65, 66, 68, 70, 107, 122, 150climmul 12414 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) ) )
152 facp1 11559 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
153152adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  ( ! `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) ) )
154151, 153breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
155154ex 424 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
15613, 21, 29, 37, 64, 155nn0ind 10355 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) )
1573, 156syl5eqbr 4237 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4867   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    <_ cle 9110    / cdiv 9666   NNcn 9989   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601   ...cfz 11032    seq cseq 11311   ^cexp 11370   !cfa 11554    ~~> cli 12266
This theorem is referenced by:  iprodfac  25355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271
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