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Theorem faclim 25116
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim
Dummy variables  a 
b  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2 seqeq3 11248 . . 3  |-  ( F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  F )  =  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  seq  1
(  x.  ,  F
)  =  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )
4 oveq2 6021 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
0 ) )
5 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  /  n )  =  ( 0  /  n ) )
65oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) )
74, 6oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )
87mpteq2dv 4230 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) ) )
98seqeq3d 11251 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5661 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  ( ! ` 
0 ) )
11 fac0 11489 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
1210, 11syl6eq 2428 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  1 )
139, 12breq12d 4159 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
14 oveq2 6021 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m ) )
15 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  (
a  /  n )  =  ( m  /  n ) )
1615oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  n
) ) )
1714, 16oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
1817mpteq2dv 4230 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )
1918seqeq3d 11251 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) )
20 fveq2 5661 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  m ) )
2119, 20breq12d 4159 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) ) )
22 oveq2 6021 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
23 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
a  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  /  n ) )
2423oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) )
2522, 24oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
2625mpteq2dv 4230 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )
2726seqeq3d 11251 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5661 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
2927, 28breq12d 4159 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
30 oveq2 6021 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A ) )
31 oveq1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  /  n )  =  ( A  /  n ) )
3231oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( A  /  n
) ) )
3330, 32oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )
3433mpteq2dv 4230 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  ( 1  +  ( A  /  n
) ) ) ) )
3534seqeq3d 11251 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
36 fveq2 5661 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
3735, 36breq12d 4159 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) ) )
38 1re 9016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 nnrecre 9961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
4139, 40readdcld 9041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
4241recnd 9040 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  CC )
4342exp0d 11437 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  =  1 )
44 nncn 9933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
45 nnne0 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4644, 45div0d 9714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  /  n )  =  0 )
4746oveq2d 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  ( 1  +  0 ) )
48 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4948addid1i 9178 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5047, 49syl6eq 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  1 )
5143, 50oveq12d 6031 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
5248div1i 9667 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2428 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  1 )
5453mpteq2ia 4225 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
55 fconstmpt 4854 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
5654, 55eqtr4i 2403 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( NN  X.  { 1 } )
57 seqeq3 11248 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { 1 } )  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) )
59 nnuz 10446 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10236 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6259, 61climprod1 25060 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
6362trud 1329 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1
6458, 63eqbrtri 4165 . . 3  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1
6560a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m ) )
67 seqex 11245 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  e.  _V )
69 faclimlem2 25114 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( m  +  1 ) )
7069adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( m  + 
1 ) )
71 elnnuz 10447 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  <->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7271biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7372adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  a  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
74 1rp 10541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
76 nnrp 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7776rpreccld 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )
7975, 78rpaddcld 10588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
80 nn0z 10229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
8279, 81rpexpcld 11466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  e.  RR+ )
8348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
84 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
8584nn0red 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
86 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8785, 86nndivred 9973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  RR )
8887recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  CC )
8983, 88addcomd 9193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  =  ( ( m  /  n )  +  1 ) )
9076adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
91 nn0ge0 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  m )
9385, 90, 92divge0d 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( m  /  n ) )
9487, 93ge0p1rpd 10599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  /  n )  +  1 )  e.  RR+ )
9589, 94eqeltrd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  e.  RR+ )
9682, 95rpdivcld 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  RR+ )
9796rpcnd 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  CC )
98 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
9997, 98fmptd 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
100 elfznn 11005 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 1 ... a )  ->  b  e.  NN )
101 ffvelrn 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
10299, 100, 101syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
103102adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
104 mulcl 9000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( b  x.  x
)  e.  CC )
105104adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( b  x.  x
)  e.  CC )
10673, 103, 105seqcl 11263 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
107106adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
10895, 79rpmulcld 10589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
109 nn0p1nn 10184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 10572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
111 rpdivcl 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
112110, 76, 111syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  /  n
)  e.  RR+ )
11375, 112rpaddcld 10588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  e.  RR+ )
114108, 113rpdivcld 10590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR+ )
115114rpcnd 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  CC )
116 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
117115, 116fmptd 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
118 ffvelrn 5800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
119117, 100, 118syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
120119adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
12173, 120, 105seqcl 11263 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
122121adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
123 faclimlem3 25115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  / 
b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) ) )
124 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
b ) )
125124oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )
126125oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
127 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  / 
b ) )
128127oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )
129126, 128oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
130 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
131 ovex 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
132129, 130, 131fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
133132adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) )
134125oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m ) )
135 oveq2 6021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
m  /  n )  =  ( m  / 
b ) )
136135oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( m  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )
137134, 136oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) ) )
138 ovex 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )  e. 
_V
139137, 98, 138fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) ) )
140136, 125oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( m  / 
b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ) )
141140, 128oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
142 ovex 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
143141, 116, 142fvmpt 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
144139, 143oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) ) )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( m  /  b
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) ) )
146123, 133, 1453eqtr4d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) ) )
147100, 146sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) ) )
148147adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b ) ) )
14973, 103, 120, 148prodfmul 24990 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a ) ) )
150149adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a
) ) )
15159, 65, 66, 68, 70, 107, 122, 150climmul 12346 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) ) )
152 facp1 11491 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
153152adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  ( ! `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) ) )
154151, 153breqtrrd 4172 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
155154ex 424 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
15613, 21, 29, 37, 64, 155nn0ind 10291 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) )
1573, 156syl5eqbr 4179 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    X. cxp 4809   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    <_ cle 9047    / cdiv 9602   NNcn 9925   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   ...cfz 10968    seq cseq 11243   ^cexp 11302   !cfa 11486    ~~> cli 12198
This theorem is referenced by:  iprodfac  25117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-rlim 12203
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