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Theorem faclim 25370
Description: An infinite product expression relating to factorials. Originally due to Euler. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
faclim.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
faclim  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem faclim
Dummy variables  a 
b  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 faclim.1 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) )
2 seqeq3 11333 . . 3  |-  ( F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  F )  =  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  (
1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  seq  1
(  x.  ,  F
)  =  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )
4 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
0 ) )
5 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
a  /  n )  =  ( 0  /  n ) )
65oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) )
74, 6oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )
87mpteq2dv 4299 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) ) )
98seqeq3d 11336 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  / 
( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) ) )
10 fveq2 5731 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  ( ! ` 
0 ) )
11 fac0 11574 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
1210, 11syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  ( ! `  a )  =  1 )
139, 12breq12d 4228 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1 ) )
14 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m ) )
15 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  (
a  /  n )  =  ( m  /  n ) )
1615oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  n
) ) )
1714, 16oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
1817mpteq2dv 4299 . . . . 5  |-  ( a  =  m  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )
1918seqeq3d 11336 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) )
20 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( a  =  m  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  m ) )
2119, 20breq12d 4228 . . 3  |-  ( a  =  m  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) ) )
22 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
23 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
a  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  /  n ) )
2423oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) )
2522, 24oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
2625mpteq2dv 4299 . . . . 5  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )
2726seqeq3d 11336 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) )
28 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
2927, 28breq12d 4228 . . 3  |-  ( a  =  ( m  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
30 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ a )  =  ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A ) )
31 oveq1 6091 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  /  n )  =  ( A  /  n ) )
3231oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
1  +  ( a  /  n ) )  =  ( 1  +  ( A  /  n
) ) )
3330, 32oveq12d 6102 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) )
3433mpteq2dv 4299 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ a
)  /  ( 1  +  ( a  /  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  /  ( 1  +  ( A  /  n
) ) ) ) )
3534seqeq3d 11336 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ A )  / 
( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) ) )
36 fveq2 5731 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( ! `  a )  =  ( ! `  A ) )
3735, 36breq12d 4228 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
a )  /  (
1  +  ( a  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 a )  <->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) ) )
38 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 nnrecre 10041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
4139, 40readdcld 9120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
4241recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  e.  CC )
4342exp0d 11522 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  =  1 )
44 nncn 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
45 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4644, 45div0d 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
0  /  n )  =  0 )
4746oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  ( 1  +  0 ) )
48 ax-1cn 9053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
4948addid1i 9258 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  0 )  =  1
5047, 49syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  +  ( 0  /  n ) )  =  1 )
5143, 50oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
5248div1i 9747 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) )  =  1 )
5453mpteq2ia 4294 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
55 fconstmpt 4924 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
5654, 55eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n
) ) ) )  =  ( NN  X.  { 1 } )
57 seqeq3 11333 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) )  =  ( NN 
X.  { 1 } )  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  =  seq  1 (  x.  , 
( NN  X.  {
1 } ) )
59 nnuz 10526 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10316 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
6259, 61climprod1 25293 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  1 (  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1 )
6362trud 1333 . . . 4  |-  seq  1
(  x.  ,  ( NN  X.  { 1 } ) )  ~~>  1
6458, 63eqbrtri 4234 . . 3  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ 0 )  /  ( 1  +  ( 0  /  n ) ) ) ) )  ~~>  1
6560a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m ) )
67 seqex 11330 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  e.  _V
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  e.  _V )
69 faclimlem2 25368 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( m  +  1 ) )
7069adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( m  + 
1 ) )
71 elnnuz 10527 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  <->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7271biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
7372adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  a  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
74 1rp 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR+
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR+ )
76 nnrp 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
7776rpreccld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
7877adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )
7975, 78rpaddcld 10668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
80 nn0z 10309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ZZ )
8180adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
8279, 81rpexpcld 11551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  e.  RR+ )
8348a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
84 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN0 )
8584nn0red 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
86 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
8785, 86nndivred 10053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  RR )
8887recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  /  n
)  e.  CC )
8983, 88addcomd 9273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  =  ( ( m  /  n )  +  1 ) )
9076adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
91 nn0ge0 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  0  <_  m )
9291adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  m )
9385, 90, 92divge0d 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( m  /  n ) )
9487, 93ge0p1rpd 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  /  n )  +  1 )  e.  RR+ )
9589, 94eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( m  /  n ) )  e.  RR+ )
9682, 95rpdivcld 10670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  RR+ )
9796rpcnd 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) )  e.  CC )
98 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) )
9997, 98fmptd 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
100 elfznn 11085 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( 1 ... a )  ->  b  e.  NN )
101 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
10299, 100, 101syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
103102adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
104 mulcl 9079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( b  x.  x
)  e.  CC )
105104adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  ( b  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( b  x.  x
)  e.  CC )
10673, 103, 105seqcl 11348 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
107106adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
10895, 79rpmulcld 10669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
109 nn0p1nn 10264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
110109nnrpd 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  RR+ )
111 rpdivcl 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
112110, 76, 111syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( m  + 
1 )  /  n
)  e.  RR+ )
11375, 112rpaddcld 10668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  e.  RR+ )
114108, 113rpdivcld 10670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  RR+ )
115114rpcnd 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  e.  CC )
116 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
117115, 116fmptd 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) : NN --> CC )
118 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) : NN --> CC  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
119117, 100, 118syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  e.  CC )
120119adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  e.  CC )
12173, 120, 105seqcl 11348 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
122121adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  e.  CC )
123 faclimlem3 25369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  / 
b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) ) )
124 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
b ) )
125124oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )
126125oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
( m  +  1 ) ) )
127 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( m  +  1 )  /  n )  =  ( ( m  +  1 )  / 
b ) )
128127oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) )  =  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )
129126, 128oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
130 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) )
131 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
132129, 130, 131fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
133132adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) )
134125oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  =  ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m ) )
135 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  b  ->  (
m  /  n )  =  ( m  / 
b ) )
136135oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
1  +  ( m  /  n ) )  =  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )
137134, 136oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) ) )
138 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) )  e. 
_V
139137, 98, 138fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  b
) ) ) )
140136, 125oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  b  ->  (
( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  =  ( ( 1  +  ( m  / 
b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ) )
141140, 128oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  b  ->  (
( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) )  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  b
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  b ) ) ) )
142 ovex 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) )  e. 
_V
143141, 116, 142fvmpt 5809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
)  =  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) )
144139, 143oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  ( ( ( 1  +  ( m  /  b ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  b
) ) ) ) )
145144adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) )  =  ( ( ( ( 1  +  ( 1  /  b ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  b ) ) )  x.  (
( ( 1  +  ( m  /  b
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  b ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  / 
b ) ) ) ) )
146123, 133, 1453eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b
) ) )
147100, 146sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) `
 b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  / 
( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b ) ) )
148147adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  /\  b  e.  ( 1 ... a ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ (
m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) `  b )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ m
)  /  ( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) `  b )  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) `
 b ) ) )
14973, 103, 120, 148prodfmul 25223 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a ) ) )
150149adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  NN0  /\ 
seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  / 
( 1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  m
) )  /\  a  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ m )  /  ( 1  +  ( m  /  n
) ) ) ) ) `  a )  x.  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( m  /  n
) )  x.  (
1  +  ( 1  /  n ) ) )  /  ( 1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) ) `  a
) ) )
15159, 65, 66, 68, 70, 107, 122, 150climmul 12431 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) ) )
152 facp1 11576 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
153152adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  ( ! `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) ) )
154151, 153breqtrrd 4241 . . . 4  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m ) )  ->  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^ ( m  +  1 ) )  /  ( 1  +  ( ( m  + 
1 )  /  n
) ) ) ) )  ~~>  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
155154ex 425 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
m )  /  (
1  +  ( m  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 m )  ->  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ^
( m  +  1 ) )  /  (
1  +  ( ( m  +  1 )  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
15613, 21, 29, 37, 64, 155nn0ind 10371 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ^ A
)  /  ( 1  +  ( A  /  n ) ) ) ) )  ~~>  ( ! `
 A ) )
1573, 156syl5eqbr 4248 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  seq  1
(  x.  ,  F
)  ~~>  ( ! `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    <_ cle 9126    / cdiv 9682   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   ...cfz 11048    seq cseq 11328   ^cexp 11387   !cfa 11571    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  iprodfac  25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288
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