Theorem facndivt 6943

Description: No natural number (greater than one) divides the factorial plus one of an equal or larger number.

Assertion

Ref	Expression
facndivt	|- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> -. (((!` M) + 1) / N) e. ZZ)

Proof of Theorem facndivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnzt 6193	. . . 4 |- ((N e. RR /\ 1 < N) -> -. (1 / N) e. ZZ)
2		nnret 5931	. . . 4 |- (N e. NN -> N e. RR)
3	1, 2	sylan 450	. . 3 |- ((N e. NN /\ 1 < N) -> -. (1 / N) e. ZZ)
4	3	ad2ant2lr 412	. 2 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> -. (1 / N) e. ZZ)
5		zsubclt 6170	. . . . 5 |- (((((!` M) + 1) / N) e. ZZ /\ ((!` M) / N) e. ZZ) -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ)
6	5	ex 373	. . . 4 |- ((((!` M) + 1) / N) e. ZZ -> (((!` M) / N) e. ZZ -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ))
7		facdivt 6942	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN /\ N <_ M) -> ((!` M) / N) e. NN)
8	7	3expa 835	. . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ N <_ M) -> ((!` M) / N) e. NN)
9		nnzt 6155	. . . . . 6 |- (((!` M) / N) e. NN -> ((!` M) / N) e. ZZ)
10	8, 9	syl 10	. . . . 5 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ N <_ M) -> ((!` M) / N) e. ZZ)
11	10	adantrl 396	. . . 4 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((!` M) / N) e. ZZ)
12	6, 11	syl5com 52	. . 3 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) / N) e. ZZ -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ))
13		divsubdirtOLD 5777	. . . . . 6 |- (((((!` M) + 1) e. CC /\ (!` M) e. CC /\ N e. CC) /\ N =/= 0) -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)))
14		facclt 6940	. . . . . . . . . 10 |- (M e. NN0 -> (!` M) e. NN)
15		nncnt 5932	. . . . . . . . . 10 |- ((!` M) e. NN -> (!` M) e. CC)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> (!` M) e. CC)
17		peano2cn 5356	. . . . . . . . 9 |- ((!` M) e. CC -> ((!` M) + 1) e. CC)
18	16, 17	syl 10	. . . . . . . 8 |- (M e. NN0 -> ((!` M) + 1) e. CC)
19	18	ad2antrr 406	. . . . . . 7 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((!` M) + 1) e. CC)
20	16	ad2antrr 406	. . . . . . 7 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> (!` M) e. CC)
21		nncnt 5932	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> N e. CC)
22	21	ad2antlr 407	. . . . . . 7 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> N e. CC)
23	19, 20, 22	3jca 821	. . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> (((!` M) + 1) e. CC /\ (!` M) e. CC /\ N e. CC))
24		nnne0t 5951	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> N =/= 0)
25	24	ad2antlr 407	. . . . . 6 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> N =/= 0)
26	13, 23, 25	sylanc 473	. . . . 5 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)))
27		ax1cn 5281	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
28		pncan2t 5410	. . . . . . . . 9 |- (((!` M) e. CC /\ 1 e. CC) -> (((!` M) + 1) - (!` M)) = 1)
29	27, 28	mpan2 698	. . . . . . . 8 |- ((!` M) e. CC -> (((!` M) + 1) - (!` M)) = 1)
30	16, 29	syl 10	. . . . . . 7 |- (M e. NN0 -> (((!` M) + 1) - (!` M)) = 1)
31	30	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- (M e. NN0 -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = (1 / N))
32	31	ad2antrr 406	. . . . 5 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) - (!` M)) / N) = (1 / N))
33	26, 32	eqtr3d 1512	. . . 4 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) = (1 / N))
34	33	eleq1d 1543	. . 3 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> (((((!` M) + 1) / N) - ((!` M) / N)) e. ZZ <-> (1 / N) e. ZZ))
35	12, 34	sylibd 202	. 2 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> ((((!` M) + 1) / N) e. ZZ -> (1 / N) e. ZZ))
36	4, 35	mtod 108	1 |- (((M e. NN0 /\ N e. NN) /\ (1 < N /\ N <_ M)) -> -. (((!` M) + 1) / N) e. ZZ)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498  !cfa 6931

This theorem is referenced by:  infpnlem1 7507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-fac 6932

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