MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facnn2 Unicode version

Theorem facnn2 11249
Description: Value of the factorial function expressed recursively. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
facnn2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )

Proof of Theorem facnn2
StepHypRef Expression
1 elnnnn0 9960 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2 facp1 11245 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
32adantl 454 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
4 ax-1cn 8749 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 npcan 9014 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
64, 5mpan2 655 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
76fveq2d 5448 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  ( ! `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `  N ) )
87adantr 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `
 N ) )
96oveq2d 5794 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
109adantr 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
113, 8, 103eqtr3d 2296 . 2  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
121, 11sylbi 189 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    - cmin 8991   NNcn 9700   NN0cn0 9918   !cfa 11240
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  11258  bcn1  11277  bcm1k  11279  hashf1  11346  dvdsfac  12531  chtublem  20398  bcmono  20464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-seq 10999  df-fac 11241
  Copyright terms: Public domain W3C validator