MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facnn2 Unicode version

Theorem facnn2 11293
Description: Value of the factorial function expressed recursively. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
facnn2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )

Proof of Theorem facnn2
StepHypRef Expression
1 elnnnn0 10003 . 2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
2 facp1 11289 . . . 4  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  (
( N  -  1 )  +  1 ) ) )
32adantl 452 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
4 ax-1cn 8791 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
5 npcan 9056 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
64, 5mpan2 652 . . . . 5  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
76fveq2d 5490 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  ( ! `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `  N ) )
87adantr 451 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `
 N ) )
96oveq2d 5836 . . . 4  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
109adantr 451 . . 3  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
113, 8, 103eqtr3d 2324 . 2  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ! `  N
)  =  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
121, 11sylbi 187 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   CCcc 8731   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    - cmin 9033   NNcn 9742   NN0cn0 9961   !cfa 11284
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  11302  bcn1  11321  bcm1k  11323  hashf1  11391  dvdsfac  12579  chtublem  20446  bcmono  20512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-seq 11043  df-fac 11285
  Copyright terms: Public domain W3C validator