MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Structured version   Unicode version

Theorem facp1 11563
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10215 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 peano2nn 10004 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3 facnn 11560 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
5 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
6 fvi 5775 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 )
87oveq2i 6084 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )
9 seqp1 11330 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
10 nnuz 10513 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2527 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
12 facnn 11560 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1312oveq1d 6088 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
148, 11, 133eqtr4a 2493 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154, 14eqtrd 2467 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
16 0p1e1 10085 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716fveq2i 5723 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
18 fac1 11562 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1917, 18eqtri 2455 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
20 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2120fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
22 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
2322, 20oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
24 fac0 11561 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2524, 16oveq12i 6085 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
26 1t1e1 10118 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2725, 26eqtri 2455 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
2823, 27syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
2919, 21, 283eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3015, 29jaoi 369 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
311, 30sylbi 188 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    _I cid 4485   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480    seq cseq 11315   !cfa 11558
This theorem is referenced by:  fac2  11564  fac3  11565  fac4  11566  facnn2  11567  faccl  11568  facdiv  11570  facwordi  11572  faclbnd  11573  faclbnd6  11582  facubnd  11583  bcm1k  11598  bcp1n  11599  efcllem  12672  ef01bndlem  12777  eirrlem  12795  dvdsfac  12896  prmfac1  13110  pcfac  13260  2expltfac  13418  aaliou3lem2  20252  aaliou3lem8  20254  dvtaylp  20278  advlogexp  20538  bcmono  21053  facgam  24842  subfacval2  24865  subfaclim  24866  4bc2eq6  25196  faclim  25357  faclim2  25359  wallispi2lem2  27788  stirlinglem4  27793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-fac 11559
  Copyright terms: Public domain W3C validator