Theorem facp1t 6902

Description: The factorial of a successor.

Assertion

Ref	Expression
facp1t	|- (N e. NN0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))

Proof of Theorem facp1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 6062	. 2 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
2		peano2nn 5897	. . . . 5 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
3		facnnt 6899	. . . . 5 |- ((N + 1) e. NN -> (!` (N + 1)) = (( x. seq1 (I |` NN))` (N + 1)))
4	2, 3	syl 10	. . . 4 |- (N e. NN -> (!` (N + 1)) = (( x. seq1 (I |` NN))` (N + 1)))
5		mulex 5305	. . . . 5 |- x. e. V
6		funi 3542	. . . . . 6 |- Fun I
7		nnex 5895	. . . . . 6 |- NN e. V
8		resfunexg 3576	. . . . . 6 |- ((Fun I /\ NN e. V) -> (I |` NN) e. V)
9	6, 7, 8	mp2an 696	. . . . 5 |- (I |` NN) e. V
10	5, 9	seq1p1 6273	. . . 4 |- (N e. NN -> (( x. seq1 (I |` NN))` (N + 1)) = ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. ((I |` NN)` (N + 1))))
11		fvres 3731	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. NN -> ((I |` NN)` (N + 1)) = (I` (N + 1)))
12	2, 11	syl 10	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> ((I |` NN)` (N + 1)) = (I` (N + 1)))
13		oprex 3980	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. V
14		fvi 3839	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. V -> (I` (N + 1)) = (N + 1))
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (I` (N + 1)) = (N + 1)
16	12, 15	syl6eq 1522	. . . . . 6 |- (N e. NN -> ((I |` NN)` (N + 1)) = (N + 1))
17	16	opreq2d 3973	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. ((I |` NN)` (N + 1))) = ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. (N + 1)))
18		facnnt 6899	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (!` N) = (( x. seq1 (I |` NN))` N))
19	18	opreq1d 3972	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((!` N) x. (N + 1)) = ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. (N + 1)))
20	17, 19	eqtr4d 1509	. . . 4 |- (N e. NN -> ((( x. seq1 (I |` NN))` N) x. ((I |` NN)` (N + 1))) = ((!` N) x. (N + 1)))
21	4, 10, 20	3eqtrd 1510	. . 3 |- (N e. NN -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
22		ax1cn 5256	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
23	22	addid2 5318	. . . . . 6 |- (0 + 1) = 1
24	23	fveq2i 3724	. . . . 5 |- (!` (0 + 1)) = (!` 1)
25		fac1 6901	. . . . 5 |- (!` 1) = 1
26	24, 25	eqtr 1494	. . . 4 |- (!` (0 + 1)) = 1
27		opreq1 3965	. . . . 5 |- (N = 0 -> (N + 1) = (0 + 1))
28	27	fveq2d 3725	. . . 4 |- (N = 0 -> (!` (N + 1)) = (!` (0 + 1)))
29		fveq2 3721	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (!` N) = (!` 0))
30	29, 27	opreq12d 3975	. . . . 5 |- (N = 0 -> ((!` N) x. (N + 1)) = ((!` 0) x. (0 + 1)))
31		fac0 6900	. . . . . . 7 |- (!` 0) = 1
32	31, 23	opreq12i 3970	. . . . . 6 |- ((!` 0) x. (0 + 1)) = (1 x. 1)
33	22	mulid1 5319	. . . . . 6 |- (1 x. 1) = 1
34	32, 33	eqtr 1494	. . . . 5 |- ((!` 0) x. (0 + 1)) = 1
35	30, 34	syl6eq 1522	. . . 4 |- (N = 0 -> ((!` N) x. (N + 1)) = 1)
36	26, 28, 35	3eqtr4a 1531	. . 3 |- (N = 0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
37	21, 36	jaoi 341	. 2 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))
38	1, 37	sylbi 199	1 |- (N e. NN0 -> (!` (N + 1)) = ((!` N) x. (N + 1)))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809  Icid 2828   |` cres 3169  Fun wfun 3173  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  0cc0 5221  1c1 5222   + caddc 5224   x. cmul 5226  NNcn 5283  NN0cn0 5284   seq1 cseq1 6262  !cfa 6897

This theorem is referenced by:  fac2 6903  fac3 6904  facnn2t 6905  facclt 6906  facdivt 6908  facwordit 6910  faclbnd 6911  faclbnd6 6920  bcnp11t 6933  bcpasc2 6935  efcltlem1 7282  eirrlem3 7368  sin01bndlem1 7445

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-n 5887  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-fac 6898

Copyright terms: Public domain