Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth Structured version   Unicode version

Theorem facth 20225
 Description: The factor theorem. If a polynomial has a root at , then is a factor of (and the other factor is quot ). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
facth.1
Assertion
Ref Expression
facth Poly quot

Proof of Theorem facth
StepHypRef Expression
1 facth.1 . . . . 5
2 eqid 2438 . . . . 5 quot quot
31, 2plyrem 20224 . . . 4 Poly quot
433adant3 978 . . 3 Poly quot
5 simp3 960 . . . . 5 Poly
65sneqd 3829 . . . 4 Poly
76xpeq2d 4904 . . 3 Poly
84, 7eqtrd 2470 . 2 Poly quot
9 cnex 9073 . . . 4
109a1i 11 . . 3 Poly
11 simp1 958 . . . 4 Poly Poly
12 plyf 20119 . . . 4 Poly
1311, 12syl 16 . . 3 Poly
141plyremlem 20223 . . . . . . 7 Poly deg
15143ad2ant2 980 . . . . . 6 Poly Poly deg
1615simp1d 970 . . . . 5 Poly Poly
17 plyssc 20121 . . . . . . 7 Poly Poly
1817, 11sseldi 3348 . . . . . 6 Poly Poly
1915simp2d 971 . . . . . . . 8 Poly deg
20 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . 9
2120a1i 11 . . . . . . . 8 Poly
2219, 21eqnetrd 2621 . . . . . . 7 Poly deg
23 fveq2 5730 . . . . . . . . 9 deg deg
24 dgr0 20182 . . . . . . . . 9 deg
2523, 24syl6eq 2486 . . . . . . . 8 deg
2625necon3i 2645 . . . . . . 7 deg
2722, 26syl 16 . . . . . 6 Poly
28 quotcl2 20221 . . . . . 6 Poly Poly quot Poly
2918, 16, 27, 28syl3anc 1185 . . . . 5 Poly quot Poly
30 plymulcl 20142 . . . . 5 Poly quot Poly quot Poly
3116, 29, 30syl2anc 644 . . . 4 Poly quot Poly
32 plyf 20119 . . . 4 quot Poly quot
3331, 32syl 16 . . 3 Poly quot
34 ofsubeq0 9999 . . 3 quot quot quot
3510, 13, 33, 34syl3anc 1185 . 2 Poly quot quot
368, 35mpbid 203 1 Poly quot
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cvv 2958  csn 3816   cxp 4878  ccnv 4879  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997   cmin 9293  c0p 19563  Polycply 20105  cidp 20106  degcdgr 20108   quot cquot 20209 This theorem is referenced by:  fta1lem  20226  vieta1lem1  20229  vieta1lem2  20230 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-0p 19564  df-ply 20109  df-idp 20110  df-coe 20111  df-dgr 20112  df-quot 20210
 Copyright terms: Public domain W3C validator