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Theorem fbfinnfr 17878
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  F  <->  y  e.  F ) )
21anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F ) ) )
32imbi1d 310 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  e.  F  <->  S  e.  F ) )
54anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  S  e.  F ) ) )
65imbi1d 310 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
7 ibar 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
87adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
98imbi1d 310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
10 bi2.04 352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C.  y  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
119, 10syl6rbbr 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  F  ->  ( x 
C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
1211albidv 1636 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
13 df-ral 2712 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  F  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
1412, 13syl6bbr 256 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
15 0nelfb 17868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
16 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F
) )
1716notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  F  <->  -.  (/)  e.  F
) )
1815, 17syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  =  (/)  ->  -.  y  e.  F ) )
1918necon2ad 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  =/=  (/) ) )
2019imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  y  =/=  (/) )
21 ssn0 3662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  |^| F  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) )
2221ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  |^| F  ->  (
y  =/=  (/)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2320, 22syl5com 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2423a1dd 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  -> 
( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
25 ssint 4068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  |^| F  <->  A. z  e.  F  y  C_  z )
2625notbii 289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
27 rexnal 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
2826, 27bitr4i 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  E. z  e.  F  -.  y  C_  z )
29 fbasssin 17873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
30 nssinpss 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  C_  z  <->  ( y  i^i  z )  C.  y
)
31 sspsstr 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C.  y )  ->  x  C.  y )
3230, 31sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  -.  y  C_  z )  ->  x  C.  y )
3332expcom 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C.  y ) )
3433reximdv 2819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z )  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
3529, 34syl5com 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
36353expia 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) ) )
3736rexlimdv 2831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
3828, 37syl5bi 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
39 r19.29 2848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y ) )
40 id 21 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  -> 
( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4140imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4241rexlimivw 2828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4443expcom 426 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  F  x 
C.  y  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4538, 44syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4624, 45pm2.61d 153 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4714, 46sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4847com12 30 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4948a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
503, 6, 49findcard3 7353 . . 3  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  S  e.  F
)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
5150com12 30 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  ( S  e.  Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
52513impia 1151 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   (/)c0 3630   |^|cint 4052   ` cfv 5457   Fincfn 7112   fBascfbas 16694
This theorem is referenced by:  filfinnfr  17914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fbas 16704
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