Theorem fbssint 11626

Description: A filter base contains subsets of its finite intersections.

Assertion

Ref	Expression
fbssint	|- ((F e. fBas /\ A (_ F /\ A e. Fin) -> E.x e. F x (_ |^|A)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem fbssint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 4523	. . . 4 |- (A e. Fin <-> E.n e. om A ~~ n)
2		relen 4513	. . . . . . . 8 |- Rel ~~
3	2	brrelexi 3291	. . . . . . 7 |- (A ~~ n -> A e. V)
4		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- n e. V
5	4	bren 4518	. . . . . . . 8 |- (A ~~ n <-> E.f f:A-1-1-onto->n)
6		f1oeq2 3793	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = A -> (f:y-1-1-onto->n <-> f:A-1-1-onto->n))
7	6	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = A -> (E.f f:y-1-1-onto->n <-> E.f f:A-1-1-onto->n))
8		sseq1 2134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = A -> (y (_ F <-> A (_ F))
9	8	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = A -> ((F e. fBas /\ y (_ F) <-> (F e. fBas /\ A (_ F)))
10		inteq 2603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = A -> |^|y = |^|A)
11	10	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = A -> (x (_ |^|y <-> x (_ |^|A))
12	11	rexbidv 1710	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = A -> (E.x e. F x (_ |^|y <-> E.x e. F x (_ |^|A))
13	9, 12	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = A -> (((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y) <-> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A)))
14	7, 13	imbi12d 629	. . . . . . . . . . 11 |- (y = A -> ((E.f f:y-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> (E.f f:A-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))))
15	14	cla4gv 1908	. . . . . . . . . 10 |- (A e. V -> (A.y(E.f f:y-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) -> (E.f f:A-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))))
16		f1oeq3 3794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k = (/) -> (f:y-1-1-onto->k <-> f:y-1-1-onto->(/)))
17	16	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k = (/) -> (E.f f:y-1-1-onto->k <-> E.f f:y-1-1-onto->(/)))
18	17	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . 12 |- (k = (/) -> ((E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> (E.f f:y-1-1-onto->(/) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
19	18	albidv 1316	. . . . . . . . . . 11 |- (k = (/) -> (A.y(E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> A.y(E.f f:y-1-1-onto->(/) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
20		f1oeq3 3794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k = t -> (f:y-1-1-onto->k <-> f:y-1-1-onto->t))
21	20	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k = t -> (E.f f:y-1-1-onto->k <-> E.f f:y-1-1-onto->t))
22	21	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . 12 |- (k = t -> ((E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> (E.f f:y-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
23	22	albidv 1316	. . . . . . . . . . 11 |- (k = t -> (A.y(E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> A.y(E.f f:y-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
24		f1oeq3 3794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k = suc t -> (f:y-1-1-onto->k <-> f:y-1-1-onto->suc t))
25	24	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k = suc t -> (E.f f:y-1-1-onto->k <-> E.f f:y-1-1-onto->suc t))
26	25	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . 12 |- (k = suc t -> ((E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> (E.f f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
27	26	albidv 1316	. . . . . . . . . . 11 |- (k = suc t -> (A.y(E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> A.y(E.f f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
28		f1oeq3 3794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k = n -> (f:y-1-1-onto->k <-> f:y-1-1-onto->n))
29	28	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k = n -> (E.f f:y-1-1-onto->k <-> E.f f:y-1-1-onto->n))
30	29	imbi1d 616	. . . . . . . . . . . 12 |- (k = n -> ((E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> (E.f f:y-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
31	30	albidv 1316	. . . . . . . . . . 11 |- (k = n -> (A.y(E.f f:y-1-1-onto->k -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> A.y(E.f f:y-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
32		f1ocnv 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> `'f:(/)-1-1-onto->y)
33		f1o00 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (`'f:(/)-1-1-onto->y <-> (`'f = (/) /\ y = (/)))
34	33	pm3.27bi 324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (`'f:(/)-1-1-onto->y -> y = (/))
35		ssv 2133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x (_ V
36		int0 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- |^|(/) = V
37	35, 36	sseqtr4i 2146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x (_ |^|(/)
38		inteq 2603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = (/) -> |^|y = |^|(/))
39	38	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = (/) -> (x (_ |^|y <-> x (_ |^|(/)))
40	37, 39	mpbiri 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = (/) -> x (_ |^|y)
41	32, 34, 40	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> x (_ |^|y)
42	41	a1d 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> (x e. F -> x (_ |^|y))
43	42	ancld 296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> (x e. F -> (x e. F /\ x (_ |^|y)))
44	43	19.22dv 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> (E.x x e. F -> E.x(x e. F /\ x (_ |^|y)))
45		n0 2341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F =/= (/) <-> E.x x e. F)
46		df-rex 1696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.x e. F x (_ |^|y <-> E.x(x e. F /\ x (_ |^|y))
47	44, 45, 46	3imtr4g 556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> (F =/= (/) -> E.x e. F x (_ |^|y))
48		fbasne0 11623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (F e. fBas -> F =/= (/))
49	47, 48	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> (F e. fBas -> E.x e. F x (_ |^|y))
50	49	adantrd 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- (f:y-1-1-onto->(/) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))
51	50	19.23aiv 1333	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.f f:y-1-1-onto->(/) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))
52	51	ax-gen 999	. . . . . . . . . . 11 |- A.y(E.f f:y-1-1-onto->(/) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))
53		f1ores 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((`'f:suc t-1-1->y /\ t (_ suc t) -> (`'f |` t):t-1-1-onto->(`'f"t))
54		f1of1 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (`'f:suc t-1-1-onto->y -> `'f:suc t-1-1->y)
55		sssucid 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- t (_ suc t
56	55	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (`'f:suc t-1-1-onto->y -> t (_ suc t)
57	53, 54, 56	sylanc 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (`'f:suc t-1-1-onto->y -> (`'f |` t):t-1-1-onto->(`'f"t))
58	57	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((t e. om /\ `'f:suc t-1-1-onto->y) -> (`'f |` t):t-1-1-onto->(`'f"t))
59		f1ocnv 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> `'f:suc t-1-1-onto->y)
60	58, 59	sylan2 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> (`'f |` t):t-1-1-onto->(`'f"t))
61		f1ocnv 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((`'f |` t):t-1-1-onto->(`'f"t) -> `'(`'f |` t):(`'f"t)-1-1-onto->t)
62		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- f e. V
63	62	cnvex 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- `'f e. V
64		resexg 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (`'f e. V -> (`'f |` t) e. V)
65	63, 64	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (`'f |` t) e. V
66	65	cnvex 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- `'(`'f |` t) e. V
67		f1oeq1 3792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (g = `'(`'f |` t) -> (g:(`'f"t)-1-1-onto->t <-> `'(`'f |` t):(`'f"t)-1-1-onto->t))
68	66, 67	cla4ev 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (`'(`'f |` t):(`'f"t)-1-1-onto->t -> E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t)
69	60, 61, 68	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t)
70		pm2.27 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))) -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))))
71		simprl 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> F e. fBas)
72		sstr 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((`'f"t) (_ y /\ y (_ F) -> (`'f"t) (_ F)
73		cnvimass 3515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (`'f"t) (_ dom f
74		f1ofn 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> f Fn y)
75		fndm 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (f Fn y -> dom f = y)
76		sseq2 2135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (dom f = y -> ((`'f"t) (_ dom f <-> (`'f"t) (_ y))
77	74, 75, 76	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> ((`'f"t) (_ dom f <-> (`'f"t) (_ y))
78	73, 77	mpbii 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> (`'f"t) (_ y)
79	72, 78	sylan 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((f:y-1-1-onto->suc t /\ y (_ F) -> (`'f"t) (_ F)
80	79	ad2ant2l 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> (`'f"t) (_ F)
81		pm2.27 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> (((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)))
82		sseq1 2134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (x = z -> (x (_ |^|(`'f"t) <-> z (_ |^|(`'f"t)))
83	82	cbvrexv 1847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (E.x e. F x (_ |^|(`'f"t) <-> E.z e. F z (_ |^|(`'f"t))
84		fbasssin 11625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((F e. fBas /\ z e. F /\ (`'f` t) e. F) -> E.x e. F x (_ (z i^i (`'f` t)))
85		simprrl 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> F e. fBas)
86		simpll 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> z e. F)
87		simprrr 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> y (_ F)
88		f1of 3797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (`'f:suc t-1-1-onto->y -> `'f:suc t-->y)
89		visset 1859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- t e. V
90	89	sucid 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- t e. suc t
91		ffvelrn 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((`'f:suc t-->y /\ t e. suc t) -> (`'f` t) e. y)
92	90, 91	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (`'f:suc t-->y -> (`'f` t) e. y)
93	59, 88, 92	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> (`'f` t) e. y)
94	93	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> (`'f` t) e. y)
95	94	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (`'f` t) e. y)
96	87, 95	sseldd 2120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (`'f` t) e. F)
97	84, 85, 86, 96	syl3anc 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> E.x e. F x (_ (z i^i (`'f` t)))
98		sstr2 2123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (x (_ (z i^i (`'f` t)) -> ((z i^i (`'f` t)) (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)) -> x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t))))
99		ssrin 2286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (z (_ |^|(`'f"t) -> (z i^i (`'f` t)) (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)))
100	98, 99	syl5com 52	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (z (_ |^|(`'f"t) -> (x (_ (z i^i (`'f` t)) -> x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t))))
101	100	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (x (_ (z i^i (`'f` t)) -> x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t))))
102	101	r19.22sdv 1784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (E.x e. F x (_ (z i^i (`'f` t)) -> E.x e. F x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t))))
103	97, 102	mpd 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> E.x e. F x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)))
104		intun 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- |^|((`'f"t) u. {(`'f` t)}) = (|^|(`'f"t) i^i |^|{(`'f` t)})
105	104	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> |^|((`'f"t) u. {(`'f` t)}) = (|^|(`'f"t) i^i |^|{(`'f` t)}))
106		f1ofn 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (`'f:suc t-1-1-onto->y -> `'f Fn suc t)
107		fnsnfv 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ((`'f Fn suc t /\ t e. suc t) -> {(`'f` t)} = (`'f"{t}))
108	90, 107	mpan2 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- (`'f Fn suc t -> {(`'f` t)} = (`'f"{t}))
109	59, 106, 108	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> {(`'f` t)} = (`'f"{t}))
110	109	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> {(`'f` t)} = (`'f"{t}))
111	110	ad2antrl 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> {(`'f` t)} = (`'f"{t}))
112	111	uneq2d 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> ((`'f"t) u. {(`'f` t)}) = ((`'f"t) u. (`'f"{t})))
113	112	inteqd 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> |^|((`'f"t) u. {(`'f` t)}) = |^|((`'f"t) u. (`'f"{t})))
114		fvex 3843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (`'f` t) e. V
115	114	intsn 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- |^|{(`'f` t)} = (`'f` t)
116	115	ineq2i 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (|^|(`'f"t) i^i |^|{(`'f` t)}) = (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t))
117	116	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (|^|(`'f"t) i^i |^|{(`'f` t)}) = (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)))
118	105, 113, 117	3eqtr3rd 1559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)) = |^|((`'f"t) u. (`'f"{t})))
119		f1ofo 3803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (`'f:suc t-1-1-onto->y -> `'f:suc t-onto->y)
120		foima 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- (`'f:suc t-onto->y -> (`'f"suc t) = y)
121	59, 119, 120	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- (f:y-1-1-onto->suc t -> (`'f"suc t) = y)
122	121	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> (`'f"suc t) = y)
123	122	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (`'f"suc t) = y)
124		df-suc 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- suc t = (t u. {t})
125	124	imaeq2i 3494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (`'f"suc t) = (`'f"(t u. {t}))
126		imaundi 3545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- (`'f"(t u. {t})) = ((`'f"t) u. (`'f"{t}))
127	125, 126	eqtri 1538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- (`'f"suc t) = ((`'f"t) u. (`'f"{t}))
128	123, 127	syl5eqr 1564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> ((`'f"t) u. (`'f"{t})) = y)
129	128	inteqd 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> |^|((`'f"t) u. (`'f"{t})) = |^|y)
130	118, 129	eqtrd 1550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)) = |^|y)
131	130	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)) <-> x (_ |^|y))
132	131	rexbidv 1710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> (E.x e. F x (_ (|^|(`'f"t) i^i (`'f` t)) <-> E.x e. F x (_ |^|y))
133	103, 132	mpbid 193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (((z e. F /\ z (_ |^|(`'f"t)) /\ ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F))) -> E.x e. F x (_ |^|y)
134	133	exp31 376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (z e. F -> (z (_ |^|(`'f"t) -> (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
135	134	r19.23aiv 1789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (E.z e. F z (_ |^|(`'f"t) -> (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> E.x e. F x (_ |^|y))
136	83, 135	sylbi 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (E.x e. F x (_ |^|(`'f"t) -> (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> E.x e. F x (_ |^|y))
137	81, 136	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> (((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)) -> (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
138	137	com3r 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> (((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
139	71, 80, 138	mp2and 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) /\ (F e. fBas /\ y (_ F)) -> (((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)) -> E.x e. F x (_ |^|y))
140	139	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> (((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
141	140	com3r 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)) -> ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
142	70, 141	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))) -> ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
143	142	com3r 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> (E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
144	69, 143	mpd 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> ((E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
145		imaexg 3508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (`'f e. V -> (`'f"t) e. V)
146	63, 145	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (`'f"t) e. V
147		f1oeq2 3793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = (`'f"t) -> (g:z-1-1-onto->t <-> g:(`'f"t)-1-1-onto->t))
148	147	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z = (`'f"t) -> (E.g g:z-1-1-onto->t <-> E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t))
149		sseq1 2134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z = (`'f"t) -> (z (_ F <-> (`'f"t) (_ F))
150	149	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = (`'f"t) -> ((F e. fBas /\ z (_ F) <-> (F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F)))
151		inteq 2603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (z = (`'f"t) -> |^|z = |^|(`'f"t))
152	151	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (z = (`'f"t) -> (x (_ |^|z <-> x (_ |^|(`'f"t)))
153	152	rexbidv 1710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z = (`'f"t) -> (E.x e. F x (_ |^|z <-> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)))
154	150, 153	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z = (`'f"t) -> (((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z) <-> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))))
155	148, 154	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z = (`'f"t) -> ((E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) <-> (E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t)))))
156	146, 155	cla4v 1914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) -> (E.g g:(`'f"t)-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ (`'f"t) (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|(`'f"t))))
157	144, 156	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t e. om /\ f:y-1-1-onto->suc t) -> (A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
158	157	ex 371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t e. om -> (f:y-1-1-onto->suc t -> (A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
159	158	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. om -> (A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) -> (f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
160	159	imp 348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((t e. om /\ A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z))) -> (f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
161	160	19.23adv 1251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t e. om /\ A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z))) -> (E.f f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
162	161	ex 371	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t e. om -> (A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) -> (E.f f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
163	162	19.21adv 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. om -> (A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) -> A.y(E.f f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
164		f1oeq2 3793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = z -> (f:y-1-1-onto->t <-> f:z-1-1-onto->t))
165	164	exbidv 1317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = z -> (E.f f:y-1-1-onto->t <-> E.f f:z-1-1-onto->t))
166		sseq1 2134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> (y (_ F <-> z (_ F))
167	166	anbi2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = z -> ((F e. fBas /\ y (_ F) <-> (F e. fBas /\ z (_ F)))
168		inteq 2603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = z -> |^|y = |^|z)
169	168	sseq2d 2141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = z -> (x (_ |^|y <-> x (_ |^|z))
170	169	rexbidv 1710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = z -> (E.x e. F x (_ |^|y <-> E.x e. F x (_ |^|z))
171	167, 170	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = z -> (((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y) <-> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)))
172	165, 171	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> ((E.f f:y-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> (E.f f:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z))))
173	172	cbvalv 1352	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y(E.f f:y-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> A.z(E.f f:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)))
174		f1oeq1 3792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f = g -> (f:z-1-1-onto->t <-> g:z-1-1-onto->t))
175	174	cbvexv 1353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.f f:z-1-1-onto->t <-> E.g g:z-1-1-onto->t)
176	175	imbi1i 184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((E.f f:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) <-> (E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)))
177	176	albii 1035	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z(E.f f:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)) <-> A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)))
178	173, 177	bitri 171	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y(E.f f:y-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) <-> A.z(E.g g:z-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ z (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|z)))
179	163, 178	syl5ib 204	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. om -> (A.y(E.f f:y-1-1-onto->t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)) -> A.y(E.f f:y-1-1-onto->suc t -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y))))
180	19, 23, 27, 31, 52, 179	finds 3244	. . . . . . . . . 10 |- (n e. om -> A.y(E.f f:y-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ y (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|y)))
181	15, 180	syl5 21	. . . . . . . . 9 |- (A e. V -> (n e. om -> (E.f f:A-1-1-onto->n -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))))
182	181	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (E.f f:A-1-1-onto->n -> (A e. V -> (n e. om -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))))
183	5, 182	sylbi 197	. . . . . . 7 |- (A ~~ n -> (A e. V -> (n e. om -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))))
184	3, 183	mpd 26	. . . . . 6 |- (A ~~ n -> (n e. om -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A)))
185	184	com12 11	. . . . 5 |- (n e. om -> (A ~~ n -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A)))
186	185	r19.23aiv 1789	. . . 4 |- (E.n e. om A ~~ n -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))
187	1, 186	sylbi 197	. . 3 |- (A e. Fin -> ((F e. fBas /\ A (_ F) -> E.x e. F x (_ |^|A))
188	187	com12 11	. 2 |- ((F e. fBas /\ A (_ F) -> (A e. Fin -> E.x e. F x (_ |^|A))
189	188	3impia 836	1 |- ((F e. fBas /\ A (_ F /\ A e. Fin) -> E.x e. F x (_ |^|A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 781  A.wal 990   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016   =/= wne 1628  E.wrex 1692  Vcvv 1857   u. cun 2097   i^i cin 2098   (_ wss 2099  (/)c0 2332  {csn 2467  |^|cint 2600   class class class wbr 2692  suc csuc 2977  omcom 3218  `'ccnv 3250  dom cdm 3251   |` cres 3253  "cima 3254   Fn wfn 3258  -->wf 3259  -1-1->wf1 3260  -onto->wfo 3261  -1-1-onto->wf1o 3262  ` cfv 3263   ~~ cen 4505  Fincfn 4508  fBascfbas 11617

This theorem is referenced by:  fbasfip 11627  fbunfip 11631  fmfnfmlem1 11700  fmfnfmlem4 11703

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-en 4509  df-fin 4512  df-fbas 11619

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