Theorem fcnvres 3645

Description: The converse of a restriction of a function.

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Proof of Theorem fcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1811	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 3637	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A /\ y e. B))
3	2	pm3.26d 321	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
4	3	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
5		pm4.71 634	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> x e. A) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
6	4, 5	sylib 198	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
7		visset 1811	. . . . . . 7 |- x e. V
8	1, 7	opelcnv 3295	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.x, y>. e. (F |` A))
9	1	opelres 3369	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
10	8, 9	bitr 173	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
11	6, 10	syl6bbr 537	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. `'(F |` A)))
12	2	pm3.27d 325	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> y e. B)
13	12	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
14		pm4.71 634	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> y e. B) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
15	13, 14	sylib 198	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
16	7	opelres 3369	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.y, x>. e. `'F /\ y e. B))
17	1, 7	opelcnv 3295	. . . . . . 7 |- (<.y, x>. e. `'F <-> <.x, y>. e. F)
18	17	anbi1i 481	. . . . . 6 |- ((<.y, x>. e. `'F /\ y e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
19	16, 18	bitr 173	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
20	15, 19	syl6bbr 537	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
21	11, 20	bitr3d 529	. . 3 |- (F:A-->B -> (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
22	21	19.21aivv 1287	. 2 |- (F:A-->B -> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
23		relcnv 3432	. . 3 |- Rel `'(F |` A)
24		relres 3384	. . 3 |- Rel (`'F |` B)
25		eqrel 3247	. . 3 |- ((Rel `'(F |` A) /\ Rel (`'F |` B)) -> (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B))))
26	23, 24, 25	mp2an 696	. 2 |- (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
27	22, 26	sylibr 200	1 |- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2409  `'ccnv 3166   |` cres 3169  Rel wrel 3172  -->wf 3175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-br 2617  df-opab 2664  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191

Copyright terms: Public domain