Theorem fcoi1 3640

Description: Composition of a mapping and restricted identity.

Assertion

Ref	Expression
fcoi1	|- (F:A-->B -> (F o. (I |` A)) = F)

Proof of Theorem fcoi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 3623	. 2 |- (F:A-->B -> F Fn A)
2		fnop 3587	. . . . . . 7 |- ((F Fn A /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
3	2	ex 373	. . . . . 6 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
4	3	pm4.71rd 638	. . . . 5 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. F <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
5		visset 1810	. . . . . . 7 |- x e. V
6		visset 1810	. . . . . . 7 |- y e. V
7		opelcog 3286	. . . . . . 7 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> E.z(<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F)))
8	5, 6, 7	mp2an 696	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> E.z(<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F))
9		visset 1810	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
10	9	opelres 3368	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, z>. e. (I |` A) <-> (<.x, z>. e. I /\ x e. A))
11	9	ideq 3273	. . . . . . . . . . . 12 |- (xIz <-> x = z)
12		df-br 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- (xIz <-> <.x, z>. e. I)
13		eqcom 1475	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z <-> z = x)
14	11, 12, 13	3bitr3 181	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, z>. e. I <-> z = x)
15	14	anbi1i 481	. . . . . . . . . 10 |- ((<.x, z>. e. I /\ x e. A) <-> (z = x /\ x e. A))
16	10, 15	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (<.x, z>. e. (I |` A) <-> (z = x /\ x e. A))
17	16	anbi1i 481	. . . . . . . 8 |- ((<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> ((z = x /\ x e. A) /\ <.z, y>. e. F))
18		anass 439	. . . . . . . 8 |- (((z = x /\ x e. A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
19	17, 18	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> (z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
20	19	exbii 1050	. . . . . 6 |- (E.z(<.x, z>. e. (I |` A) /\ <.z, y>. e. F) <-> E.z(z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)))
21		opeq1 2484	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> <.z, y>. = <.x, y>.)
22	21	eleq1d 1538	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (<.z, y>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
23	22	anbi2d 615	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((x e. A /\ <.z, y>. e. F) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F)))
24	5, 23	ceqsexv 1832	. . . . . 6 |- (E.z(z = x /\ (x e. A /\ <.z, y>. e. F)) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F))
25	8, 20, 24	3bitr 177	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> (x e. A /\ <.x, y>. e. F))
26	4, 25	syl6rbbr 538	. . . 4 |- (F Fn A -> (<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F))
27	26	19.21aivv 1286	. . 3 |- (F Fn A -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F))
28		fnrel 3582	. . . 4 |- (F Fn A -> Rel F)
29		relco 3480	. . . . 5 |- Rel (F o. (I |` A))
30		eqrel 3246	. . . . 5 |- ((Rel (F o. (I |` A)) /\ Rel F) -> ((F o. (I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
31	29, 30	mpan 694	. . . 4 |- (Rel F -> ((F o. (I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
32	28, 31	syl 10	. . 3 |- (F Fn A -> ((F o. (I |` A)) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F o. (I |` A)) <-> <.x, y>. e. F)))
33	27, 32	mpbird 196	. 2 |- (F Fn A -> (F o. (I |` A)) = F)
34	1, 33	syl 10	1 |- (F:A-->B -> (F o. (I |` A)) = F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808  <.cop 2408   class class class wbr 2615  Icid 2827   |` cres 3168   o. ccom 3170  Rel wrel 3171   Fn wfn 3173  -->wf 3174

This theorem is referenced by:  mapenlem1 4478  mapenlem2 4479  hoico1t 9639  hmeogrp 10484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-co 3183  df-dm 3184  df-res 3186  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190

Copyright terms: Public domain