Theorem fcoi2 3643

Description: Composition of restricted identity and a mapping.

Assertion

Ref	Expression
fcoi2	|- (F:A-->B -> ((I |` B) o. F) = F)

Proof of Theorem fcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1811	. . . . . . . 8 |- y e. V
2	1	opelf 3637	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A /\ y e. B))
3	2	pm3.27d 325	. . . . . 6 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> y e. B)
4	3	ex 373	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
5		pm4.71 634	. . . . 5 |- ((<.x, y>. e. F -> y e. B) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
6	4, 5	sylib 198	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
7		visset 1811	. . . . . 6 |- x e. V
8		opelcog 3287	. . . . . 6 |- ((x e. V /\ y e. V) -> (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> E.z(<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B))))
9	7, 1, 8	mp2an 696	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> E.z(<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)))
10	1	opelres 3369	. . . . . . . . 9 |- (<.z, y>. e. (I |` B) <-> (<.z, y>. e. I /\ z e. B))
11		df-br 2617	. . . . . . . . . . 11 |- (zIy <-> <.z, y>. e. I)
12	1	ideq 3274	. . . . . . . . . . 11 |- (zIy <-> z = y)
13	11, 12	bitr3 175	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, y>. e. I <-> z = y)
14	13	anbi1i 481	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, y>. e. I /\ z e. B) <-> (z = y /\ z e. B))
15	10, 14	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (<.z, y>. e. (I |` B) <-> (z = y /\ z e. B))
16	15	anbi2i 480	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)) <-> (<.x, z>. e. F /\ (z = y /\ z e. B)))
17		an12 484	. . . . . . 7 |- ((<.x, z>. e. F /\ (z = y /\ z e. B)) <-> (z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)))
18	16, 17	bitr 173	. . . . . 6 |- ((<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)) <-> (z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)))
19	18	exbii 1050	. . . . 5 |- (E.z(<.x, z>. e. F /\ <.z, y>. e. (I |` B)) <-> E.z(z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)))
20		opeq2 2486	. . . . . . . 8 |- (z = y -> <.x, z>. = <.x, y>.)
21	20	eleq1d 1539	. . . . . . 7 |- (z = y -> (<.x, z>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
22		eleq1 1533	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. B <-> y e. B))
23	21, 22	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (z = y -> ((<.x, z>. e. F /\ z e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
24	1, 23	ceqsexv 1833	. . . . 5 |- (E.z(z = y /\ (<.x, z>. e. F /\ z e. B)) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
25	9, 19, 24	3bitr 177	. . . 4 |- (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
26	6, 25	syl6rbbr 538	. . 3 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F))
27	26	19.21aivv 1287	. 2 |- (F:A-->B -> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F))
28		frel 3627	. . 3 |- (F:A-->B -> Rel F)
29		relco 3481	. . . 4 |- Rel ((I |` B) o. F)
30		eqrel 3247	. . . 4 |- ((Rel ((I |` B) o. F) /\ Rel F) -> (((I |` B) o. F) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F)))
31	29, 30	mpan 694	. . 3 |- (Rel F -> (((I |` B) o. F) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F)))
32	28, 31	syl 10	. 2 |- (F:A-->B -> (((I |` B) o. F) = F <-> A.xA.y(<.x, y>. e. ((I |` B) o. F) <-> <.x, y>. e. F)))
33	27, 32	mpbird 196	1 |- (F:A-->B -> ((I |` B) o. F) = F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1809  <.cop 2409   class class class wbr 2616  Icid 2828   |` cres 3169   o. ccom 3171  Rel wrel 3172  -->wf 3175

This theorem is referenced by:  mapenlem2 4483  hoico2t 9674  symggrpi 10397  symgidi 10398  hmeogrp 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191

Copyright terms: Public domain