MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fctop2 Unicode version

Theorem fctop2 16992
Description: The finite complement topology on a set  A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (This version of fctop 16991 requires the Axiom of Infinity.) (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fctop2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem fctop2
StepHypRef Expression
1 isfinite 7540 . . . . 5  |-  ( ( A  \  x )  e.  Fin  <->  ( A  \  x )  ~<  om )
21orbi1i 507 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  x )  ~<  om  \/  x  =  (/) ) )
32a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A 
\  x )  ~<  om  \/  x  =  (/) ) ) )
43rabbiia 2889 . 2  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  =  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<  om  \/  x  =  (/) ) }
5 fctop 16991 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
64, 5syl5eqelr 2472 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653    \ cdif 3260   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   class class class wbr 4153   omcom 4785   ` cfv 5394    ~< csdm 7044   Fincfn 7045  TopOnctopon 16882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-top 16886  df-topon 16889
  Copyright terms: Public domain W3C validator