MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fctop2 Unicode version

Theorem fctop2 16669
Description: The finite complement topology on a set  A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (This version of fctop 16668 requires the Axiom of Infinity.) (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
fctop2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem fctop2
StepHypRef Expression
1 isfinite 7286 . . . . 5  |-  ( ( A  \  x )  e.  Fin  <->  ( A  \  x )  ~<  om )
21orbi1i 508 . . . 4  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  x )  ~<  om  \/  x  =  (/) ) )
32a1i 12 . . 3  |-  ( x  e.  ~P A  -> 
( ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A 
\  x )  ~<  om  \/  x  =  (/) ) ) )
43rabbiia 2730 . 2  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  =  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<  om  \/  x  =  (/) ) }
5 fctop 16668 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
64, 5syl5eqelr 2341 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  ~<  om  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2519    \ cdif 3091   (/)c0 3397   ~Pcpw 3566   class class class wbr 3963   omcom 4593   ` cfv 4638    ~< csdm 6795   Fincfn 6796  TopOnctopon 16559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-oadd 6416  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-top 16563  df-topon 16566
  Copyright terms: Public domain W3C validator