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Theorem fdc1 26452
Description: Variant of fdc 26451 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1  |-  A  e. 
_V
fdc1.2  |-  M  e.  ZZ
fdc1.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fdc1.4  |-  N  =  ( M  +  1 )
fdc1.5  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
fdc1.6  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fdc1.7  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fdc1.8  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
fdc1.9  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
fdc1.10  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
fdc1.11  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
fdc1.12  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
Assertion
Ref Expression
fdc1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, f, n    R, a, b    M, a, b, f, k, n    Z, a, b, n    N, a, b, f, k, n    ph, f, k    ps, a    ch, a, b, n    th, f, n    ta, a, b    et, a, b, f, n    ze, b, f, n    si, a
Allowed substitution hints:    ph( n, a, b)    ps( f, k, n, b)    ch( f, k)    th( k,
a, b)    ta( f,
k, n)    et( k)    ze( k, a)    si( f,
k, n, b)    A( k)    R( f, k, n)    Z( f, k)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdc1.9 . 2  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
2 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  A  <->  a  e.  A ) )
32anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  (
( et  /\  c  e.  A )  <->  ( et  /\  a  e.  A
) ) )
4 sbceq2a 3174 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  ze ) )
53, 4anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  <->  ( ( et  /\  a  e.  A
)  /\  ze )
) )
65imbi1d 310 . . . . 5  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( ( et 
/\  c  e.  A
)  /\  [. c  / 
a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )  <->  ( (
( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) ) )
7 fdc1.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
8 fdc1.2 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ZZ
9 fdc1.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 fdc1.4 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( M  +  1 )
11 sbsbc 3167 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ]
ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph )
12 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ps
13 fdc1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13sbhypf 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [ d  /  a ] ph  <->  ps ) )
1511, 14syl5bbr 252 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [. d  /  a ]. ph  <->  ps ) )
16 fdc1.7 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
17 sbsbc 3167 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ] th  <->  [. d  /  a ]. th )
18 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ta
19 fdc1.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
2018, 19sbhypf 3003 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [ d  /  a ] th  <->  ta ) )
2117, 20syl5bbr 252 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [. d  /  a ]. th  <->  ta ) )
22 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  c  e.  A )
23 fdc1.10 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
2423adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  R  Fr  A )
25 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( et  /\  d  e.  A )
26 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a
[. d  /  a ]. th
27 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a A
28 nfsbc1v 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a
[. d  /  a ]. ph
2927, 28nfrex 2763 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph
3026, 29nfor 1859 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
3125, 30nfim 1833 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
32 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  A  <->  d  e.  A ) )
3332anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  a  e.  A )  <->  ( et  /\  d  e.  A
) ) )
34 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( th 
<-> 
[. d  /  a ]. th ) )
35 sbceq1a 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  ( ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph ) )
3635rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  A  ph  <->  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
3734, 36orbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( th  \/  E. b  e.  A  ph )  <->  (
[. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) ) )
3833, 37imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  d  e.  A
)  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph ) ) ) )
39 fdc1.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
4031, 38, 39chvar 1969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
4140adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  (
c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
42 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a et
4342, 28nfan 1847 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
44 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( d  e.  A  /\  b  e.  A
)
4543, 44nfan 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )
46 nfv 1630 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a  b R d
4745, 46nfim 1833 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( ( et 
/\  [. d  /  a ]. ph )  /\  (
d  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
d )
4835anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  ph ) 
<->  ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
) )
4932anbi1d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  <->  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) ) )
5048, 49anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  <->  ( ( et  /\  [. d  / 
a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) ) ) )
51 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
b R a  <->  b R
d ) )
5250, 51imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( et 
/\  ph )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
a )  <->  ( (
( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d ) ) )
53 fdc1.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
5447, 52, 53chvar 1969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d )
5554adantllr 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R d )
567, 8, 9, 10, 15, 16, 21, 22, 24, 41, 55fdc 26451 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
5756anassrs 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  (
( f `  M
)  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
58 idd 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( f : ( M ... n
) --> A  ->  f : ( M ... n ) --> A ) )
59 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 M )  e. 
_V
60 fdc1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
6159, 60sbcie 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
si )
62 dfsbcq 3165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
[. c  /  a ]. ze ) )
6361, 62syl5rbbr 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  si ) )
6463biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. c  /  a ]. ze  ->  ( ( f `  M )  =  c  ->  si ) )
6564adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f `
 M )  =  c  ->  si )
)
6665anim1d 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  ->  ( si  /\  ta ) ) )
67 idd 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( A. k  e.  ( N ... n
) ch  ->  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
6858, 66, 673anim123d 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )  ->  ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
6968eximdv 1633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7069reximdv 2819 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7157, 70mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
726, 71chvarv 1970 . . . 4  |-  ( ( ( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
7372ex 425 . . 3  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( ze  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7473rexlimdva 2832 . 2  |-  ( et 
->  ( E. a  e.  A  ze  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\ 
ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )
) )
751, 74mpd 15 1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653   [wsb 1659    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163   class class class wbr 4214    Fr wfr 4540   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1c1 8993    + caddc 8995    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
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