Theorem feu 3638

Description: There is exactly one value of a function in its codomain.

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Distinct variable groups:   y,F   y,A   y,B   y,C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneu2 3585	. . . 4 |- ((F Fn A /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
2		ffn 3619	. . . 4 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3	1, 2	sylan 448	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
4		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- y e. V
5	4	opelf 3631	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> (C e. A /\ y e. B))
6	5	pm3.27d 325	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> y e. B)
7	6	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F -> y e. B))
8	7	pm4.71rd 638	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F <-> (y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
9	8	eubidv 1384	. . . 4 |- (F:A-->B -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
10	9	adantr 389	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
11	3, 10	mpbid 195	. 2 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
12		df-reu 1648	. 2 |- (E!y e. B <.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
13	11, 12	sylibr 200	1 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956  E!weu 1378  E!wreu 1644  <.cop 2407   Fn wfn 3172  -->wf 3173

This theorem is referenced by:  fsn 3825  f1ofveu 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-reu 1648  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189

Copyright terms: Public domain