Theorem ffnoprval 4005

Description: An operation maps to a class to which all values belong.

Assertion

Ref	Expression
ffnoprval	|- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   x,F,y

Proof of Theorem ffnoprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 3819	. 2 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C))
2		fveq2 3715	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
3		df-opr 3956	. . . . . 6 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
4	2, 3	syl6eqr 1522	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
5	4	eleq1d 1537	. . . 4 |- (w = <.x, y>. -> ((F` w) e. C <-> (xFy) e. C))
6	5	ralxp 3213	. . 3 |- (A.w e. (A X. B)(F` w) e. C <-> A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C)
7	6	anbi2i 480	. 2 |- ((F Fn (A X. B) /\ A.w e. (A X. B)(F` w) e. C) <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))
8	1, 7	bitr 173	1 |- (F:(A X. B)-->C <-> (F Fn (A X. B) /\ A.x e. A A.y e. B (xFy) e. C))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  <.cop 2407   X. cxp 3163   Fn wfn 3172  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954

This theorem is referenced by:  foprcl 4006  foprval 4009  mapxpen 4481  axaddopr 5245  axmulopr 5246  mulnzcnopr 5679  seq1rn2 6266  seqzrn2 6496  acdc3lem 7436  acdc2lem2 7439  acdc5lem2 7442  acdclem 7444  metxp 7786  issubgi 8074  ghgrpilem4 8088  ringsn 8115  circgrpOLD 8677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956

Copyright terms: Public domain