MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filintn0 Unicode version

Theorem filintn0 17504
Description: A filter has the finite intersection property. Remark below definition 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 20-Sep-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filintn0  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  C_  F  /\  A  =/=  (/)  /\  A  e. 
Fin ) )  ->  |^| A  =/=  (/) )

Proof of Theorem filintn0
StepHypRef Expression
1 elfir 7123 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  C_  F  /\  A  =/=  (/)  /\  A  e. 
Fin ) )  ->  |^| A  e.  ( fi
`  F ) )
2 filfi 17502 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( fi `  F )  =  F )
32adantr 453 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  C_  F  /\  A  =/=  (/)  /\  A  e. 
Fin ) )  -> 
( fi `  F
)  =  F )
41, 3eleqtrd 2332 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  C_  F  /\  A  =/=  (/)  /\  A  e. 
Fin ) )  ->  |^| A  e.  F )
5 fileln0 17493 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  |^| A  e.  F )  ->  |^| A  =/=  (/) )
64, 5syldan 458 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  C_  F  /\  A  =/=  (/)  /\  A  e. 
Fin ) )  ->  |^| A  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    C_ wss 3113   (/)c0 3416   |^|cint 3822   ` cfv 4659   Fincfn 6817   ficfi 7118   Filcfil 17488
This theorem is referenced by:  alexsublem  17686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-en 6818  df-fin 6821  df-fi 7119  df-fbas 17468  df-fil 17489
  Copyright terms: Public domain W3C validator