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Theorem filuni 17909
Description: The union of a nonempty set of filters with a common base and closed under pairwise union is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filuni  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  U. F  e.  ( Fil `  X
) )
Distinct variable groups:    f, g, F    f, X, g

Proof of Theorem filuni
Dummy variables  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4011 . . . 4  |-  ( x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  x  e.  f )
2 ssel2 3335 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
3 filelss 17876 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f )  ->  x  C_  X )
43ex 424 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  (
x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
65rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
763ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
81, 7syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( x  e.  U. F  ->  x  C_  X ) )
98pm4.71rd 617 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( x  e.  U. F  <->  ( x  C_  X  /\  x  e. 
U. F ) ) )
10 ssn0 3652 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( Fil `  X )  =/=  (/) )
11 fvprc 5714 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fil `  X )  =  (/) )
1211necon1ai 2640 . . . 4  |-  ( ( Fil `  X )  =/=  (/)  ->  X  e.  _V )
1310, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  e.  _V )
14133adant3 977 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  X  e.  _V )
15 filtop 17879 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  f )
162, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  X  e.  f )
1716a1d 23 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  ->  X  e.  f )
)
1817ralimdva 2776 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  A. f  e.  F  X  e.  f ) )
19 r19.2z 3709 . . . . . . 7  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  X  e.  f )  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
2019ex 424 . . . . . 6  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. f  e.  F  X  e.  f  ->  E. f  e.  F  X  e.  f ) )
2118, 20sylan9 639 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
)
22213impia 1150 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
23 eluni2 4011 . . . 4  |-  ( X  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  X  e.  f )
2422, 23sylibr 204 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  X  e.  U. F )
25 sbcel1gv 3212 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( [. X  /  x ]. x  e.  U. F  <->  X  e.  U. F ) )
2614, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( [. X  /  x ]. x  e.  U. F  <->  X  e.  U. F ) )
2724, 26mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  [. X  /  x ]. x  e.  U. F )
28 0nelfil 17873 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
292, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  f )
3029ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
31303ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
32 0ex 4331 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
33 sbcel1gv 3212 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  (/)  e.  U. F ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  (/)  e.  U. F )
35 eluni2 4011 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3634, 35bitri 241 . . . . 5  |-  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3736notbii 288 . . . 4  |-  ( -. 
[. (/)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  -.  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
38 ralnex 2707 . . . 4  |-  ( A. f  e.  F  -.  (/) 
e.  f  <->  -.  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3937, 38bitr4i 244 . . 3  |-  ( -. 
[. (/)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
4031, 39sylibr 204 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  -.  [. (/)  /  x ]. x  e.  U. F
)
41 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)
42 r19.29 2838 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. f  e.  F  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
)
4342ex 424 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )
4441, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  f ) ) )
45 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  F  C_  ( Fil `  X ) )
46 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  ->  F  C_  ( Fil `  X
) )
47 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
)  ->  f  e.  F )
4846, 47, 2syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
49 simprrr 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  x  e.  f )
50 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  y  C_  X )
51 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  x  C_  y )
52 filss 17877 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  f  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y ) )  -> 
y  e.  f )
5348, 49, 50, 51, 52syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  y  e.  f )
5453expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  f  e.  F )  ->  (
( A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  f
)  ->  y  e.  f ) )
5554reximdva 2810 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  ->  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  y  e.  f )
)
5645, 55syl3an1 1217 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  y  e.  f )
)
5744, 56syld 42 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  y  e.  f ) )
58 sbcid 3169 . . . 4  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  x  e.  U. F )
5958, 1bitri 241 . . 3  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  x  e.  f )
60 vex 2951 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
61 sbcel1gv 3212 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  y  e.  U. F ) )
6260, 61ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  y  e.  U. F )
63 eluni2 4011 . . . 4  |-  ( y  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  y  e.  f )
6462, 63bitri 241 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  y  e.  f )
6557, 59, 643imtr4g 262 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  ->  [. y  /  x ]. x  e. 
U. F ) )
66 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)
67 r19.29 2838 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. f  e.  F  y  e.  f )  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
)
6867ex 424 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
) )
6966, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  /\  y  e.  f ) ) )
70 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  F  C_  ( Fil `  X ) )
71 r19.29 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. g  e.  F  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
) )
7271ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. g  e.  F  ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  g )
) )
73 elun1 3506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  f  ->  y  e.  ( f  u.  g
) )
74 elun2 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  g  ->  x  e.  ( f  u.  g
) )
7573, 74anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  f  /\  x  e.  g )  ->  ( y  e.  ( f  u.  g )  /\  x  e.  ( f  u.  g ) ) )
76 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
y  e.  h  <->  y  e.  ( f  u.  g
) ) )
77 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
x  e.  h  <->  x  e.  ( f  u.  g
) ) )
7876, 77anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
( y  e.  h  /\  x  e.  h
)  <->  ( y  e.  ( f  u.  g
)  /\  x  e.  ( f  u.  g
) ) ) )
7978rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  ( y  e.  ( f  u.  g )  /\  x  e.  ( f  u.  g ) ) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8075, 79sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  ( y  e.  f  /\  x  e.  g ) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8180an12s 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  f  /\  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8281ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  f  ->  (
( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
)  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8382ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f
)  /\  g  e.  F )  ->  (
( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
)  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8483rexlimdva 2822 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( E. g  e.  F  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8572, 84syl9r 69 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) ) ) )
8685impr 603 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( y  e.  f  /\  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
) )  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h )
) )
8786ancom2s 778 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
)  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8887rexlimiva 2817 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) ) )
8988imp 419 . . . . 5  |-  ( ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) )
90 ssel2 3335 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  h  e.  F )  ->  h  e.  ( Fil `  X
) )
91 filin 17878 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  (
y  i^i  x )  e.  h )
92913expib 1156 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9390, 92syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  h  e.  F )  ->  (
( y  e.  h  /\  x  e.  h
)  ->  ( y  i^i  x )  e.  h
) )
9493reximdva 2810 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( E. h  e.  F  (
y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9570, 89, 94syl2im 36 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9669, 95syland 468 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( E. f  e.  F  y  e.  f  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
97 eluni2 4011 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. F  <->  E. g  e.  F  x  e.  g )
9858, 97bitri 241 . . . 4  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. g  e.  F  x  e.  g )
9964, 98anbi12i 679 . . 3  |-  ( (
[. y  /  x ]. x  e.  U. F  /\  [. x  /  x ]. x  e.  U. F
)  <->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  /\  E. g  e.  F  x  e.  g ) )
10060inex1 4336 . . . . 5  |-  ( y  i^i  x )  e. 
_V
101 sbcel1gv 3212 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  x )  e.  _V  ->  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  ( y  i^i  x )  e.  U. F ) )
102100, 101ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  ( y  i^i  x )  e.  U. F )
103 eluni2 4011 . . . 4  |-  ( ( y  i^i  x )  e.  U. F  <->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x )  e.  h
)
104102, 103bitri 241 . . 3  |-  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x )  e.  h
)
10596, 99, 1043imtr4g 262 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  /\  [. x  /  x ]. x  e.  U. F
)  ->  [. ( y  i^i  x )  /  x ]. x  e.  U. F ) )
1069, 14, 27, 40, 65, 105isfild 17882 1  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  U. F  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Filcfil 17869
This theorem is referenced by:  filssufilg  17935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-fbas 16691  df-fil 17870
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