MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Unicode version

Theorem fimaxre 9634
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 8836 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 soss 4269 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
31, 2mpi 18 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  <  Or  A )
4 fimaxg 7037 . . 3  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
53, 4syl3an1 1220 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
6 ssel 3116 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3116 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
86, 7anim12d 548 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
98imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )
10 leloe 8841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
1110ancoms 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
12 equcom 1824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
1312orbi2i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( y  <  x  \/  x  =  y
) )
14 orcom 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  x  =  y )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <  x
) )
15 neor 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  \/  y  <  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1613, 14, 153bitri 264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1711, 16syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  =/=  y  -> 
y  <  x )
) )
1817biimprd 216 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  y  <_  x ) )
199, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2019anassrs 632 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2120ralimdva 2592 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
2221reximdva 2626 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
23223ad2ant1 981 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
245, 23mpd 16 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517    C_ wss 3094   (/)c0 3397   class class class wbr 3963    Or wor 4250   Fincfn 6796   RRcr 8669    < clt 8800    <_ cle 8801
This theorem is referenced by:  fimaxre2  9635  0ram2  12995  0ramcl  12997  ballotlemfc0  22977  ballotlemfcc  22978  fimaxreOLD  25762  filbcmb  25764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-1o 6412  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806
  Copyright terms: Public domain W3C validator