MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Unicode version

Theorem fin1a2 8251
Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2  |-  ( A  e. FinIa  ->  A  e. FinII )

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3767 . . . 4  |-  ( b  e.  ~P A  -> 
b  C_  A )
2 fin1ai 8129 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  C_  A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e.  Fin )
)
3 fin12 8249 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  b )  e.  Fin  ->  ( A  \  b )  e. FinII )
43orim2i 505 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e.  Fin )  ->  ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
52, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  C_  A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
61, 5sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  e.  ~P A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
76ralrimiva 2749 . 2  |-  ( A  e. FinIa  ->  A. b  e.  ~P  A ( b  e. 
Fin  \/  ( A  \  b )  e. FinII ) )
8 fin1a2s 8250 . 2  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  A. b  e.  ~P  A ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b )  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
97, 8mpdan 650 1  |-  ( A  e. FinIa  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   Fincfn 7068  FinIacfin1a 8114  FinIIcfin2 8115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rpss 6481  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-wdom 7483  df-card 7782  df-fin1a 8121  df-fin2 8122  df-fin4 8123  df-fin3 8124
  Copyright terms: Public domain W3C validator