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Theorem fin1a2s 8284
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3799 . . . 4  |-  ( c  e.  ~P ~P A  ->  c  C_  ~P A
)
2 fin12 8283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinII
)
3 fin23 8259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e. FinII  ->  x  e. FinIII )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinIII )
5 fin23 8259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  e. FinII  ->  ( A  \  x )  e. FinIII )
64, 5orim12i 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  (
x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
76ralimi 2773 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
8 fin1a2lem8 8277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
97, 8sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinIII )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  A  e. FinIII )
11 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
~P A )
12 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> [ C.]  Or  c )
1312adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  -> [ C.]  Or  c )
14 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  U. c  e.  c )
15 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  c  C_  ~P A )
16 ssralv 3399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  ~P A  ->  ( A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII )  ->  A. x  e.  c 
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  ( x  e.  Fin  \/  ( A 
\  x )  e. FinII ) ) )
18 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
x  e.  Fin  ->  x  e.  Fin ) )
19 fin1a2lem13 8282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2019ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
21203expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c
)  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  (
( -.  x  e. 
Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII ) )
2221adantlrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2322adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2423imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2524ancom2s 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
x  e.  c  /\  -.  x  e.  Fin ) )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII )
2625expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2726con4d 99 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( A  \  x
)  e. FinII  ->  x  e.  Fin ) )
2818, 27jaod 370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  x  e.  Fin ) )
2928ralimdva 2776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  c  (
x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3017, 29syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3130impr 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
32 dfss3 3330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  Fin  <->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
3331, 32sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
Fin )
34 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> 
c  =/=  (/) )
3534adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  =/=  (/) )
36 fin1a2lem12 8281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
c  C_  Fin  /\  c  =/=  (/) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3837expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  -.  A  e. FinIII ) )
3938impancom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4039an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  ( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4110, 40mt4d 132 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  U. c  e.  c )
4241exp32 589 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  C_  ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
431, 42syl5 30 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  e.  ~P ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c )  ->  U. c  e.  c ) ) )
4443ralrimiv 2780 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) )
45 isfin2 8164 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
4645adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( A  e. FinII  <->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c )  ->  U. c  e.  c ) ) )
4744, 46mpbird 224 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007    Or wor 4494   [ C.] crpss 6513   Fincfn 7101  FinIIcfin2 8149  FinIIIcfin3 8151
This theorem is referenced by:  fin1a2  8285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-rpss 6514  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-seqom 6697  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-wdom 7517  df-card 7816  df-fin2 8156  df-fin4 8157  df-fin3 8158
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