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Theorem fin1a2s 8056
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3646 . . . 4  |-  ( c  e.  ~P ~P A  ->  c  C_  ~P A
)
2 fin12 8055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinII
)
3 fin23 8031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e. FinII  ->  x  e. FinIII )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinIII )
5 fin23 8031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  e. FinII  ->  ( A  \  x )  e. FinIII )
64, 5orim12i 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  (
x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
76ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
8 fin1a2lem8 8049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
97, 8sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinIII )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  A  e. FinIII )
11 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
~P A )
12 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> [ C.]  Or  c )
1312adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  -> [ C.]  Or  c )
14 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  U. c  e.  c )
15 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  c  C_  ~P A )
16 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  ~P A  ->  ( A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII )  ->  A. x  e.  c 
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  ( x  e.  Fin  \/  ( A 
\  x )  e. FinII ) ) )
18 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
x  e.  Fin  ->  x  e.  Fin ) )
19 fin1a2lem13 8054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2019ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
21203expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c
)  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  (
( -.  x  e. 
Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII ) )
2221adantlrl 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2322adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2423imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2524ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
x  e.  c  /\  -.  x  e.  Fin ) )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII )
2625expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2726con4d 97 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( A  \  x
)  e. FinII  ->  x  e.  Fin ) )
2818, 27jaod 369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  x  e.  Fin ) )
2928ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  c  (
x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3017, 29syld 40 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3130impr 602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
32 dfss3 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  Fin  <->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
3331, 32sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
Fin )
34 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> 
c  =/=  (/) )
3534adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  =/=  (/) )
36 fin1a2lem12 8053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
c  C_  Fin  /\  c  =/=  (/) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3837expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  -.  A  e. FinIII ) )
3938impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4039an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  ( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4110, 40mt4d 130 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c ) ) )  ->  U. c  e.  c )
4241exp32 588 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  C_  ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
431, 42syl5 28 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  e.  ~P ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c )  ->  U. c  e.  c ) ) )
4443ralrimiv 2638 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) )
45 isfin2 7936 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
4645adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( A  e. FinII  <->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c )  ->  U. c  e.  c ) ) )
4744, 46mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843    Or wor 4329   [ C.] crpss 6292   Fincfn 6879  FinIIcfin2 7921  FinIIIcfin3 7923
This theorem is referenced by:  fin1a2  8057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-seqom 6476  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-card 7588  df-fin2 7928  df-fin4 7929  df-fin3 7930
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