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Theorem fin23lem30 7968
Description: Lemma for fin23 8015. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem30  |-  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z, a    F, a, t    w, a, x, z, P    v, a, R, i, u    U, a, i, u, v, z    Z, a    g, a
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)    R( x, z, w, t, g)    U( x, w, t, g)    F( x, z, w, v, u, g, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem30
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . 2  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
2 eqif 3598 . . 3  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  <->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
32biimpi 186 . 2  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  ->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
4 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  Fun  t )
5 fin23lem.d . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
65funmpt2 5291 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  R
7 funco 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  t  /\  Fun  R )  ->  Fun  ( t  o.  R ) )
84, 6, 7sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  Fun  ( t  o.  R
) )
9 elunirn 5777 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( t  o.  R
)  ->  ( a  e.  U. ran  ( t  o.  R )  <->  E. b  e.  dom  ( t  o.  R ) a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
) ) )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  <->  E. b  e.  dom  ( t  o.  R
) a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )
) )
11 dmcoss 4944 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
t  o.  R ) 
C_  dom  R
1211sseli 3176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  dom  ( t  o.  R )  -> 
b  e.  dom  R
)
13 fvco 5595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  R  /\  b  e.  dom  R )  -> 
( ( t  o.  R ) `  b
)  =  ( t `
 ( R `  b ) ) )
146, 13mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  dom  R  -> 
( ( t  o.  R ) `  b
)  =  ( t `
 ( R `  b ) ) )
1514adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( t  o.  R ) `  b )  =  ( t `  ( R `
 b ) ) )
1615eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  <->  a  e.  ( t `  ( R `
 b ) ) ) )
17 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  ( R `
 b ) )  i^i  |^| ran  U )  =  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b ) ) )
18 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( om 
\  P )  C_  om
19 ominf 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  -.  om  e.  Fin
20 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
21 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  C_  om
2220, 21eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  P  C_  om
23 undif 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P 
C_  om  <->  ( P  u.  ( om  \  P ) )  =  om )
2422, 23mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  u.  ( om  \  P
) )  =  om
25 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  -> 
( P  u.  ( om  \  P ) )  e.  Fin )
2624, 25syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  om  e.  Fin )
2726ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  Fin  ->  (
( om  \  P
)  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
2819, 27mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Fin  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
305fin23lem22 7953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( om  \  P
)  C_  om  /\  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
3118, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P ) )
32 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
)  ->  R : om
--> ( om  \  P
) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  R : om --> ( om  \  P ) )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  b  e.  dom  R )
35 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R : om --> ( om 
\  P )  ->  dom  R  =  om )
3633, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  dom  R  =  om )
3734, 36eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  b  e.  om )
38 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R : om --> ( om 
\  P )  /\  b  e.  om )  ->  ( R `  b
)  e.  ( om 
\  P ) )
3933, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( R `  b )  e.  ( om  \  P ) )
40 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R `  b )  e.  ( om  \  P
)  ->  -.  ( R `  b )  e.  P )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( R `  b )  e.  P
)
4220eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  b )  e.  P  <->  ( R `  b )  e.  {
v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  (
t `  v ) } )
4341, 42sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( R `  b )  e.  {
v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  (
t `  v ) } )
4418, 39sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( R `  b )  e.  om )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( R `  b )  ->  (
t `  v )  =  ( t `  ( R `  b ) ) )
4645sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( R `  b )  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 ( R `  b ) ) ) )
4746elrab3 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  b )  e.  om  ->  (
( R `  b
)  e.  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  <->  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) ) )
4844, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( R `
 b )  e. 
{ v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }  <->  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) ) )
4943, 48mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) )
50 fin23lem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
5150fin23lem20 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  b )  e.  om  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b )
) )  =  (/) ) )
5244, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( |^| ran  U 
C_  ( t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) ) )
53 orel1 371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
|^| ran  U  C_  (
t `  ( R `  b ) )  -> 
( ( |^| ran  U 
C_  ( t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) )  ->  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) ) )
5449, 52, 53sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b ) ) )  =  (/) )
5517, 54syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( t `
 ( R `  b ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
56 disj 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t `  ( R `  b )
)  i^i  |^| ran  U
)  =  (/)  <->  A. a  e.  ( t `  ( R `  b )
)  -.  a  e. 
|^| ran  U )
5755, 56sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  A. a  e.  ( t `  ( R `
 b ) )  -.  a  e.  |^| ran 
U )
58 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  ( t `  ( R `  b
) )  -.  a  e.  |^| ran  U  -> 
( a  e.  ( t `  ( R `
 b ) )  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( t `  ( R `  b )
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
6016, 59sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
6160ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
b  e.  dom  R  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )  ->  -.  a  e.  |^| ran 
U ) ) )
6212, 61syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
b  e.  dom  (
t  o.  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) ) )
6362rexlimdv 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  ( E. b  e.  dom  ( t  o.  R
) a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )  ->  -.  a  e.  |^| ran 
U ) )
6410, 63sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
6564ralrimiv 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  A. a  e.  U. ran  ( t  o.  R )  -.  a  e.  |^| ran  U )
66 disj 3495 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) 
<-> 
A. a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  -.  a  e. 
|^| ran  U )
6765, 66sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran 
U )  =  (/) )
68 rneq 4904 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ran  Z  =  ran  ( t  o.  R ) )
6968unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  U. ran  Z  =  U. ran  (
t  o.  R ) )
7069ineq1d 3369 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran 
U )  =  ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran  U ) )
7170eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  (
( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/)  <->  ( U. ran  ( t  o.  R
)  i^i  |^| ran  U
)  =  (/) ) )
7267, 71syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  (
( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  -> 
( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
7372exp3a 425 . . . 4  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( P  e.  Fin  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) ) )
7473impcom 419 . . 3  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  -> 
( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^|
ran  U )  =  (/) ) )
75 rneq 4904 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ran  Z  =  ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )
7675unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  U. ran  Z  = 
U. ran  ( (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) )
7776ineq1d 3369 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U ) )
78 rncoss 4945 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q )  C_  ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )
79 uniss 3848 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  C_  ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  ->  U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) 
C_  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) )
8078, 79ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  C_  U.
ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )
81 disj 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)  <->  A. a  e.  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  -.  a  e. 
|^| ran  U )
82 eluniab 3839 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) }  <->  E. b
( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) )
83 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  <-> 
a  e.  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) )
84 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U )
8583, 84syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
8685rexlimivw 2663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  P  b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
8786impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U )
8887exlimiv 1666 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b ( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U )
8982, 88sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) }  ->  -.  a  e.  |^| ran  U
)
90 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )
9190rnmpt 4925 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  =  {
b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) }
9291unieqi 3837 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  = 
U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( (
t `  z )  \  |^| ran  U ) }
9389, 92eleq2s 2375 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  U. ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U
)
9481, 93mprgbir 2613 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)
95 ssdisj 3504 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
)  C_  U. ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  /\  ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )  ->  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
9680, 94, 95mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)
9777, 96syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
9897a1d 22 . . . 4  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
9998adantl 452 . . 3  |-  ( ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
10074, 99jaoi 368 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
1011, 3, 100mp2b 9 1  |-  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   Fun wfun 5249   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   iota_crio 6297  seq𝜔cseqom 6459    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fin23lem31  7969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
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