HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem findes 4169
Description: Finite induction with explicit substitution. The first hypothesis is the basis and the second is the induction hypothesis. Theorem Schema 22 of [Suppes] p. 136. See tfindes 4135 for the transfinite version. (Contributed by Raph Levien, 9-Jul-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
findes.1
findes.2
Assertion
Ref Expression
findes

Proof of Theorem findes
StepHypRef Expression
1 dfsbcq 2610 . 2
2 sbequ 1762 . 2
3 dfsbcq 2610 . 2
4 sbequ12r 1713 . 2
5 findes.1 . 2
6 ax-17 1542 . . . 4
7 hbs1 1872 . . . . 5
8 vex 2443 . . . . . . 7
98sucex 4086 . . . . . 6
109hbsbc1v 2618 . . . . 5
117, 10hbim 1579 . . . 4
126, 11hbim 1579 . . 3
13 eleq1 2089 . . . 4
14 sbequ12 1712 . . . . 5
15 suceq 3920 . . . . . 6
16 dfsbcq 2610 . . . . . 6
1715, 16syl 15 . . . . 5
1814, 17imbi12d 309 . . . 4
1913, 18imbi12d 309 . . 3
20 findes.2 . . 3
2112, 19, 20chvar 1698 . 2
221, 2, 3, 4, 5, 21finds 4165 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wceq 1526   wcel 1528  wsbc 1701  c0 3025   csuc 3857  com 4138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1443  ax-6 1444  ax-7 1445  ax-gen 1446  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-12 1533  ax-13 1534  ax-14 1535  ax-17 1542  ax-9 1557  ax-4 1563  ax-16 1741  ax-ext 2012  ax-sep 3626  ax-nul 3635  ax-pr 3695  ax-un 3973
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-ex 1448  df-sb 1703  df-eu 1930  df-mo 1931  df-clab 2018  df-cleq 2023  df-clel 2026  df-ne 2149  df-ral 2243  df-rex 2244  df-rab 2246  df-v 2442  df-sbc 2609  df-dif 2753  df-un 2755  df-in 2757  df-ss 2761  df-pss 2763  df-nul 3026  df-if 3135  df-pw 3196  df-sn 3214  df-pr 3215  df-tp 3216  df-op 3217  df-uni 3375  df-br 3532  df-opab 3585  df-tr 3600  df-eprel 3783  df-po 3792  df-so 3806  df-fr 3826  df-we 3842  df-ord 3858  df-on 3859  df-lim 3860  df-suc 3861  df-om 4139
Copyright terms: Public domain