HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem findes 4004
Description: Finite induction with explicit substitution. The first hypothesis is the basis and the second is the induction hypothesis. Theorem Schema 22 of [Suppes] p. 136. See tfindes 3970 for the transfinite version. (Contributed by Raph Levien, 9-Jul-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
findes.1
findes.2
Assertion
Ref Expression
findes

Proof of Theorem findes
StepHypRef Expression
1 dfsbcq 2494 . 2
2 sbequ 1650 . 2
3 dfsbcq 2494 . 2
4 sbequ12r 1601 . 2
5 findes.1 . 2
6 ax-17 1430 . . . 4
7 hbs1 1760 . . . . 5
8 vex 2327 . . . . . . 7
98sucex 3922 . . . . . 6
109hbsbc1v 2502 . . . . 5
117, 10hbim 1467 . . . 4
126, 11hbim 1467 . . 3
13 eleq1 1977 . . . 4
14 sbequ12 1600 . . . . 5
15 suceq 3756 . . . . . 6
16 dfsbcq 2494 . . . . . 6
1715, 16syl 15 . . . . 5
1814, 17imbi12d 309 . . . 4
1913, 18imbi12d 309 . . 3
20 findes.2 . . 3
2112, 19, 20chvar 1586 . 2
221, 2, 3, 4, 5, 21finds 4000 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 174   wceq 1414   wcel 1416  wsbc 1589  c0 2902   csuc 3693  com 3973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1331  ax-6 1332  ax-7 1333  ax-gen 1334  ax-8 1418  ax-10 1419  ax-11 1420  ax-12 1421  ax-13 1422  ax-14 1423  ax-17 1430  ax-9 1445  ax-4 1451  ax-16 1629  ax-ext 1900  ax-sep 3466  ax-nul 3475  ax-pr 3535  ax-un 3809
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 900  df-3an 901  df-ex 1336  df-sb 1591  df-eu 1818  df-mo 1819  df-clab 1906  df-cleq 1911  df-clel 1914  df-ne 2037  df-ral 2131  df-rex 2132  df-rab 2134  df-v 2326  df-sbc 2493  df-dif 2637  df-un 2639  df-in 2641  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2903  df-if 3009  df-pw 3068  df-sn 3085  df-pr 3086  df-tp 3087  df-op 3088  df-uni 3224  df-br 3371  df-opab 3425  df-tr 3440  df-eprel 3620  df-po 3628  df-so 3642  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3974
Copyright terms: Public domain