Theorem findreccl 10412

Description: Please add description here.

Hypothesis

Ref	Expression
findreccl.1	|- (z e. P -> (G` z) e. P)

Assertion

Ref	Expression
findreccl	|- (C e. om -> (A e. P -> (rec(G, A)` C) e. P))

Distinct variable groups:   z,G   z,A   z,P

Proof of Theorem findreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdg0t 3950	. . 3 |- (A e. P -> (rec(G, A)` (/)) = A)
2		eleq1a 1546	. . 3 |- (A e. P -> ((rec(G, A)` (/)) = A -> (rec(G, A)` (/)) e. P))
3	1, 2	mpd 26	. 2 |- (A e. P -> (rec(G, A)` (/)) e. P)
4		nnont 3144	. . . 4 |- (y e. om -> y e. On)
5		rdgsuct 3951	. . . . . 6 |- (y e. On -> (rec(G, A)` suc y) = (G` (rec(G, A)` y)))
6	5	eleq1d 1543	. . . . 5 |- (y e. On -> ((rec(G, A)` suc y) e. P <-> (G` (rec(G, A)` y)) e. P))
7		fveq2 3730	. . . . . . 7 |- (z = (rec(G, A)` y) -> (G` z) = (G` (rec(G, A)` y)))
8	7	eleq1d 1543	. . . . . 6 |- (z = (rec(G, A)` y) -> ((G` z) e. P <-> (G` (rec(G, A)` y)) e. P))
9		findreccl.1	. . . . . 6 |- (z e. P -> (G` z) e. P)
10	8, 9	vtoclga 1855	. . . . 5 |- ((rec(G, A)` y) e. P -> (G` (rec(G, A)` y)) e. P)
11	6, 10	syl5bir 210	. . . 4 |- (y e. On -> ((rec(G, A)` y) e. P -> (rec(G, A)` suc y) e. P))
12	4, 11	syl 10	. . 3 |- (y e. om -> ((rec(G, A)` y) e. P -> (rec(G, A)` suc y) e. P))
13	12	a1d 12	. 2 |- (y e. om -> (A e. P -> ((rec(G, A)` y) e. P -> (rec(G, A)` suc y) e. P)))
14	3, 13	findfvcl 10411	1 |- (C e. om -> (A e. P -> (rec(G, A)` C) e. P))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283  Oncon0 2954  suc csuc 2956  omcom 3137  ` cfv 3188  reccrdg 3937

This theorem is referenced by:  findabrcl 10413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938

Copyright terms: Public domain