Theorem fine2 10484

Description: If A is not empty, the class of all the finite intersections of A is not empty either.

Assertion

Ref	Expression
fine2	|- (A e. B -> (A =/= (/) -> (fi` A) =/= (/)))

Proof of Theorem fine2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiv 10482	. . . 4 |- (A e. B -> (fi` A) = {x | E.y(y (_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
2	1	eqcomd 1480	. . 3 |- (A e. B -> {x | E.y(y (_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} = (fi` A))
3	2	neeq1d 1594	. 2 |- (A e. B -> ({x | E.y(y (_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} =/= (/) <-> (fi` A) =/= (/)))
4		fine 10449	. 2 |- (A =/= (/) -> {x | E.y(y (_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} =/= (/))
5	3, 4	syl5bi 208	1 |- (A e. B -> (A =/= (/) -> (fi` A) =/= (/)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585   (_ wss 2047  (/)c0 2280  |^|cint 2533  ` cfv 3182  Fincfn 4367  ficfi 10479

This theorem is referenced by:  fgsb2 10580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-1o 4133  df-en 4368  df-fin 4371  df-fi 10480

Copyright terms: Public domain