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Theorem finminlem 26321
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
finminlem  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 1747 . . . . 5  |-  F/ x E. x ( x  ~~  n  /\  ph )
2 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ x om
31, 2nfrab 2889 . . . 4  |-  F/_ x { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }
4 nfcv 2572 . . . 4  |-  F/_ x (/)
53, 4nfne 2695 . . 3  |-  F/ x { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/)
6 isfi 7131 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  x  ~~  m
)
7 19.8a 1762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  ->  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) )
87anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  (
m  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
983impb 1149 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  ( m  e. 
om  /\  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
10 breq2 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  m ) )
1110anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  ~~  n  /\  ph )  <->  ( x  ~~  m  /\  ph )
) )
1211exbidv 1636 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( E. x ( x  ~~  n  /\  ph )  <->  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
1312elrab 3092 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  <->  ( m  e.  om  /\  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
149, 13sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  m  e.  {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) } )
15 ne0i 3634 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
17163exp 1152 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  (
x  ~~  m  ->  (
ph  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) ) )
1817rexlimiv 2824 . . . 4  |-  ( E. m  e.  om  x  ~~  m  ->  ( ph  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) )
196, 18sylbi 188 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( ph  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) )
205, 19rexlimi 2823 . 2  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
21 epweon 4764 . . 3  |-  _E  We  On
22 ssrab2 3428 . . . 4  |-  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  C_  om
23 omsson 4849 . . . 4  |-  om  C_  On
2422, 23sstri 3357 . . 3  |-  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  C_  On
25 wefrc 4576 . . 3  |-  ( (  _E  We  On  /\  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) } 
C_  On  /\  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  ( {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
2621, 24, 25mp3an12 1269 . 2  |-  ( { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/)  ->  E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  ( {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
27 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ x  m  e.  om
28 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x m
293, 28nfin 3547 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )
3029nfeq1 2581 . . . . . . 7  |-  F/ x
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)
3127, 30nfan 1846 . . . . . 6  |-  F/ x
( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
32 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ph )
33 sspss 3446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  x  <->  ( y  C.  x  \/  y  =  x ) )
34 rspe 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  ->  E. m  e.  om  x  ~~  m )
35 pssss 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y 
C.  x  ->  y  C_  x )
36 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
3735, 36sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C.  x )  -> 
y  e.  Fin )
3837ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
396, 38sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. m  e.  om  x  ~~  m  ->  ( y 
C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
4034, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  -> 
( y  C.  x  ->  y  e.  Fin )
)
4140adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
4241adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
43 isfi 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. k  e.  om  y  ~~  k
)
44 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  om )
45 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  y  ~~  k )
46 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  ps )
47 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  y  e. 
_V
48 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  k  <->  y  ~~  k ) )
49 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5048, 49anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  k  /\  ph )  <->  ( y  ~~  k  /\  ps )
) )
5147, 50spcev 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  ~~  k  /\  ps )  ->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) )
5245, 46, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) )
5334, 6sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  ->  x  e.  Fin )
5453adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  x  e.  Fin )
5554adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  x  e.  Fin )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  x  e.  Fin )
57 php3 7293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C.  x )  -> 
y  ~<  x )
5857ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
y  C.  x  ->  y 
~<  x ) )
5956, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  C.  x  ->  y  ~<  x
) )
60 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  k  e. 
_V
61 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  e.  _V  ->  (
m  C_  k  ->  m  ~<_  k ) )
6260, 61ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m 
C_  k  ->  m  ~<_  k )
63 endomtr 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  ~~  m  /\  m  ~<_  k )  ->  x  ~<_  k )
6463ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x 
~~  m  ->  (
m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
6564ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
6665ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
67 ensym 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y 
~~  k  ->  k  ~~  y )
68 domentr 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  ~<_  k  /\  k  ~~  y )  ->  x  ~<_  y )
6967, 68sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  ~<_  k  /\  y  ~~  k )  ->  x  ~<_  y )
7069expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y 
~~  k  ->  (
x  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7170ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( x  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7266, 71syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7362, 72syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  C_  k  ->  x  ~<_  y ) )
74 domnsym 7233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  ~<_  y  ->  -.  y  ~<  x )
7574con2i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y 
~<  x  ->  -.  x  ~<_  y )
7673, 75nsyli 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  ~<  x  ->  -.  m  C_  k
) )
7759, 76syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  C.  x  ->  -.  m  C_  k
) )
7877impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  -.  m  C_  k )
79 nnord 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
8079ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  Ord  m )
81 nnord 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
8281adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  ->  Ord  k )
8382ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  Ord  k )
84 ordtri1 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Ord  m  /\  Ord  k )  ->  (
m  C_  k  <->  -.  k  e.  m ) )
8584con2bid 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  m  /\  Ord  k )  ->  (
k  e.  m  <->  -.  m  C_  k ) )
8680, 83, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  (
k  e.  m  <->  -.  m  C_  k ) )
8778, 86mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  m )
8844, 52, 87jca31 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  (
( k  e.  om  /\ 
E. x ( x 
~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m ) )
89 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  <->  ( k  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  /\  k  e.  m ) )
90 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  k ) )
9190anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  ~~  n  /\  ph )  <->  ( x  ~~  k  /\  ph )
) )
9291exbidv 1636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( E. x ( x  ~~  n  /\  ph )  <->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) ) )
9392elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  <->  ( k  e.  om  /\  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) ) )
9493anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  /\  k  e.  m )  <->  ( ( k  e.  om  /\ 
E. x ( x 
~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m ) )
9589, 94bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  <->  ( (
k  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m
) )
9688, 95sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m ) )
97 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) )
9998exp44 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
k  e.  om  ->  ( y  ~~  k  -> 
( y  C.  x  ->  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =/=  (/) ) ) ) )
10099rexlimdv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( E. k  e.  om  y  ~~  k  ->  (
y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
10143, 100syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( y  C.  x  -> 
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =/=  (/) ) ) )
102101com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  ( y  e.  Fin  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
10342, 102mpdd 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) )
104103necon2bd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  -.  y  C.  x
) )
105104ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  om  ->  (
( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  ( ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/)  ->  -.  y  C.  x ) ) )
106105com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  om  ->  (
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  ( ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  -.  y  C.  x ) ) )
107106imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  -.  y  C.  x )
108107pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  C.  x  ->  x  =  y ) )
109 equcomi 1691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  x  =  y )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  =  x  ->  x  =  y ) )
111108, 110jaod 370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( ( y 
C.  x  \/  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
11233, 111syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  C_  x  ->  x  =  y ) )
113112expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ps  ->  ( y  C_  x  ->  x  =  y ) ) )
114113com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( y  C_  x  ->  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
115114imp3a 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
116115alrimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
11732, 116jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
118117ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/) )  -> 
( ( x  ~~  m  /\  ph )  -> 
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) ) )
11931, 118eximd 1786 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/) )  -> 
( E. x ( x  ~~  m  /\  ph )  ->  E. x
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) ) )
120119impancom 428 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ( { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  E. x ( ph  /\ 
A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
12113, 120sylbi 188 . . 3  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ->  ( ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  E. x ( ph  /\ 
A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
122121rexlimiv 2824 . 2  |-  ( E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/)  ->  E. x
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
12320, 26, 1223syl 19 1  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320    C. wpss 3321   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    _E cep 4492    We wwe 4540   Ord word 4580   Oncon0 4581   omcom 4845    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108   Fincfn 7109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113
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