Theorem finsucdom 4532

Description: Strict dominance of a finite set over a natural number is the same as dominance over its successor.

Assertion

Ref	Expression
finsucdom	|- ((A e. om /\ B e. Fin) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Proof of Theorem finsucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsucdom 4528	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A ~< x <-> suc A ~<_ x))
2	1	adantr 391	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (A ~< x <-> suc A ~<_ x))
3		sdomen2 4488	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ B ~~ x) -> (A ~< B <-> A ~< x))
4	3	adantll 394	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (A ~< B <-> A ~< x))
5		domen2 4486	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ B ~~ x) -> (suc A ~<_ B <-> suc A ~<_ x))
6	5	adantll 394	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (suc A ~<_ B <-> suc A ~<_ x))
7	2, 4, 6	3bitr4d 552	. . . . 5 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
8	7	exp31 378	. . . 4 |- (A e. om -> (x e. om -> (B ~~ x -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))))
9	8	r19.23adv 1749	. . 3 |- (A e. om -> (E.x e. om B ~~ x -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
10	9	imp 350	. 2 |- ((A e. om /\ E.x e. om B ~~ x) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
11		isfi 4388	. 2 |- (B e. Fin <-> E.x e. om B ~~ x)
12	10, 11	sylan2b 454	1 |- ((A e. om /\ B e. Fin) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  suc csuc 2956  omcom 3137   ~~ cen 4370   ~<_ cdom 4371   ~< csdm 4372  Fincfn 4373

This theorem is referenced by:  sucdom 4852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377

Copyright terms: Public domain