MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv2 Unicode version

Theorem fldiv2 10961
Description: Cancellation of an embedded floor of a ratio. Generalization of Equation 2.4 in [CormenLeisersonRivest] p. 33 (where  A must be an integer). (Contributed by NM, 9-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem fldiv2
StepHypRef Expression
1 nndivre 9778 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  /  M
)  e.  RR )
2 fldiv 10960 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  M
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N
) ) )
31, 2sylan 459 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  M
) )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) ) )
433impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( A  /  M
)  /  N ) ) )
5 recn 8824 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6 nncn 9751 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
7 nnne0 9775 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
86, 7jca 520 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
9 nncn 9751 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
10 nnne0 9775 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 520 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
12 divdiv1 9468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  M )  /  N
)  =  ( A  /  ( M  x.  N ) ) )
135, 8, 11, 12syl3an 1226 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  /  M
)  /  N )  =  ( A  / 
( M  x.  N
) ) )
1413fveq2d 5491 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
154, 14eqtrd 2318 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734    x. cmul 8739    / cdiv 9420   NNcn 9743   |_cfl 10920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-fl 10921
  Copyright terms: Public domain W3C validator