MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv2 Structured version   Unicode version

Theorem fldiv2 11232
Description: Cancellation of an embedded floor of a ratio. Generalization of Equation 2.4 in [CormenLeisersonRivest] p. 33 (where  A must be an integer). (Contributed by NM, 9-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem fldiv2
StepHypRef Expression
1 nndivre 10025 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  /  M
)  e.  RR )
2 fldiv 11231 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  M
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N
) ) )
31, 2sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  M
) )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) ) )
433impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( A  /  M
)  /  N ) ) )
5 recn 9070 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6 nncn 9998 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
7 nnne0 10022 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
86, 7jca 519 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
9 nncn 9998 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
10 nnne0 10022 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
12 divdiv1 9715 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  M )  /  N
)  =  ( A  /  ( M  x.  N ) ) )
135, 8, 11, 12syl3an 1226 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  /  M
)  /  N )  =  ( A  / 
( M  x.  N
) ) )
1413fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
154, 14eqtrd 2467 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980    x. cmul 8985    / cdiv 9667   NNcn 9990   |_cfl 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fl 11192
  Copyright terms: Public domain W3C validator