MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv2 Unicode version

Theorem fldiv2 10896
Description: Cancellation of an embedded floor of a ratio. Generalization of Equation 2.4 in [CormenLeisersonRivest] p. 33 (where  A must be an integer). (Contributed by NM, 9-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem fldiv2
StepHypRef Expression
1 nndivre 9714 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  /  M
)  e.  RR )
2 fldiv 10895 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  M
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N
) ) )
31, 2sylan 459 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  M
) )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) ) )
433impa 1151 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( A  /  M
)  /  N ) ) )
5 recn 8760 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6 nncn 9687 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
7 nnne0 9711 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
86, 7jca 520 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
9 nncn 9687 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
10 nnne0 9711 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 520 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
12 divdiv1 9404 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  M )  /  N
)  =  ( A  /  ( M  x.  N ) ) )
135, 8, 11, 12syl3an 1229 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  /  M
)  /  N )  =  ( A  / 
( M  x.  N
) ) )
1413fveq2d 5427 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
154, 14eqtrd 2288 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670    x. cmul 8675    / cdiv 9356   NNcn 9679   |_cfl 10855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fl 10856
  Copyright terms: Public domain W3C validator