MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldiv2 Unicode version

Theorem fldiv2 11197
Description: Cancellation of an embedded floor of a ratio. Generalization of Equation 2.4 in [CormenLeisersonRivest] p. 33 (where  A must be an integer). (Contributed by NM, 9-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem fldiv2
StepHypRef Expression
1 nndivre 9991 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  /  M
)  e.  RR )
2 fldiv 11196 . . . 4  |-  ( ( ( A  /  M
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N
) ) )
31, 2sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_ `  ( A  /  M
) )  /  N
) )  =  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) ) )
433impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( A  /  M
)  /  N ) ) )
5 recn 9036 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
6 nncn 9964 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
7 nnne0 9988 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
86, 7jca 519 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 ) )
9 nncn 9964 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
10 nnne0 9988 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
119, 10jca 519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
12 divdiv1 9681 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  M  =/=  0 )  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  /  M )  /  N
)  =  ( A  /  ( M  x.  N ) ) )
135, 8, 11, 12syl3an 1226 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  /  M
)  /  N )  =  ( A  / 
( M  x.  N
) ) )
1413fveq2d 5691 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( A  /  M )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
154, 14eqtrd 2436 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  ( A  /  M ) )  /  N ) )  =  ( |_ `  ( A  /  ( M  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    / cdiv 9633   NNcn 9956   |_cfl 11156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fl 11157
  Copyright terms: Public domain W3C validator