Theorem flhalft 6206

Description: Ordering relation for the floor of half of an integer.

Assertion

Ref	Expression
flhalft	|- (N e. ZZ -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeot 6160	. 2 |- (N e. ZZ -> ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ))
2		flidt 6197	. . . . . 6 |- ((N / 2) e. ZZ -> (|_` (N / 2)) = (N / 2))
3	2	opreq2d 3973	. . . . 5 |- ((N / 2) e. ZZ -> (2 x. (|_` (N / 2))) = (2 x. (N / 2)))
4		zcnt 6101	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
5		2cn 5941	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
6		2ne0 5951	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
7		divcan2t 5704	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ N e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. (N / 2)) = N)
8	5, 6, 7	mp3an13 906	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (2 x. (N / 2)) = N)
9	4, 8	syl 10	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. (N / 2)) = N)
10	3, 9	sylan9eqr 1528	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` (N / 2))) = N)
11		lemul2itOLD 5810	. . . . . 6 |- ((((|_` (N / 2)) e. RR /\ (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ (0 <_ 2 /\ (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))) -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
12		zret 6100	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
13		rehalfclt 5995	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (N / 2) e. RR)
14	12, 13	syl 10	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> (N / 2) e. RR)
15		flreclt 6189	. . . . . . . 8 |- ((N / 2) e. RR -> (|_` (N / 2)) e. RR)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` (N / 2)) e. RR)
17		peano2re 5423	. . . . . . . . 9 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
18		rehalfclt 5995	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) e. RR -> ((N + 1) / 2) e. RR)
19	12, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. RR)
20		flclt 6188	. . . . . . . 8 |- (((N + 1) / 2) e. RR -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. ZZ)
21		zret 6100	. . . . . . . 8 |- ((|_` ((N + 1) / 2)) e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR)
22	19, 20, 21	3syl 20	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR)
23		2re 5940	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
24	23	a1i 8	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> 2 e. RR)
25	16, 22, 24	3jca 818	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> ((|_` (N / 2)) e. RR /\ (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR /\ 2 e. RR))
26		flwordit 6198	. . . . . . . 8 |- (((N / 2) e. RR /\ ((N + 1) / 2) e. RR /\ (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)) -> (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))
27		lep1t 5782	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N <_ (N + 1))
28	27	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> N <_ (N + 1))
29		2pos 5950	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
30		lediv1t 5820	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
31	29, 30	mpan2 695	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 2 e. RR) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
32	23, 31	mp3an3 904	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
33	28, 32	mpbid 195	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2))
34	12, 17	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (N + 1) e. RR)
35	33, 12, 34	sylanc 471	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2))
36	26, 14, 19, 35	syl3anc 857	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))
37		0re 5427	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
38	37, 23, 29	ltlei 5568	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
39	36, 38	jctil 292	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (0 <_ 2 /\ (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2))))
40	11, 25, 39	sylanc 471	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
41	40	adantr 389	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
42	10, 41	eqbrtrrd 2634	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
43	12, 27	syl 10	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> N <_ (N + 1))
44	43	adantr 389	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> N <_ (N + 1))
45		flidt 6197	. . . . . 6 |- (((N + 1) / 2) e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) = ((N + 1) / 2))
46	45	opreq2d 3973	. . . . 5 |- (((N + 1) / 2) e. ZZ -> (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))) = (2 x. ((N + 1) / 2)))
47		peano2cn 5331	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
48		divcan2t 5704	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ (N + 1) e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
49	5, 6, 48	mp3an13 906	. . . . . 6 |- ((N + 1) e. CC -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
50	4, 47, 49	3syl 20	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
51	46, 50	sylan9eqr 1528	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))) = (N + 1))
52	44, 51	breqtrrd 2638	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
53	42, 52	jaodan 426	. 2 |- ((N e. ZZ /\ ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ)) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
54	1, 53	mpdan 703	1 |- (N e. ZZ -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1584   class class class wbr 2616  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  RRcr 5220  0cc0 5221  1c1 5222   + caddc 5224   x. cmul 5226   / cdiv 5281   <_ cle 5282  ZZcz 5285   < clt 5473  2c2 5922  |_cfl 6185

This theorem is referenced by:  efaddlem12 7327  efaddlem20 7335  efaddlem22 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186

Copyright terms: Public domain