MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Structured version   Unicode version

Theorem flval3 11260
Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem flval3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3417 . . . . 5  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  ZZ
2 zssre 10327 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
31, 2sstri 3346 . . . 4  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR
43a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR )
5 flcl 11242 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
6 flle 11246 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
7 breq1 4246 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  A )  <_  A
) )
87elrab 3101 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  A )  <_  A ) )
95, 6, 8sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
)
10 ne0i 3622 . . . 4  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
12 reflcl 11243 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
13 breq1 4246 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  A  <->  z  <_  A ) )
1413elrab 3101 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A ) )
15 flge 11252 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1615biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1716expimpd 588 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A )  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1814, 17syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  z  <_ 
( |_ `  A
) ) )
1918ralrimiv 2795 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) )
20 breq2 4247 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2120ralbidv 2732 . . . . 5  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  ( A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2221rspcev 3061 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)
2312, 19, 22syl2anc 644 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )
24 suprub 10007 . . 3  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } )  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )
)
254, 11, 23, 9, 24syl31anc 1188 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
26 suprleub 10010 . . . 4  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
)  <->  A. z  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
274, 11, 23, 12, 26syl31anc 1188 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A )  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2819, 27mpbird 225 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
) )
29 suprcl 10006 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
304, 11, 23, 29syl3anc 1185 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3112, 30letri3d 9253 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( |_ `  A
)  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  /\  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
3225, 28, 31mpbir2and 890 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   E.wrex 2713   {crab 2716    C_ wss 3309   (/)c0 3616   class class class wbr 4243   ` cfv 5489   supcsup 7481   RRcr 9027    < clt 9158    <_ cle 9159   ZZcz 10320   |_cfl 11239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fl 11240
  Copyright terms: Public domain W3C validator