Theorem flval3t 6241

Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument.

Assertion

Ref	Expression
flval3t	|- (A e. RR -> (|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem flval3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprub 6058	. . . 4 |- ((({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) /\ (|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A}) -> (|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
2		ssrab2 2134	. . . . . . 7 |- {x e. ZZ | x <_ A} (_ ZZ
3		zssre 6144	. . . . . . 7 |- ZZ (_ RR
4	2, 3	sstri 2076	. . . . . 6 |- {x e. ZZ | x <_ A} (_ RR
5	4	a1i 8	. . . . 5 |- (A e. RR -> {x e. ZZ | x <_ A} (_ RR)
6		flclt 6228	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
7		fllet 6231	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ A)
8	6, 7	jca 288	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. ZZ /\ (|_` A) <_ A))
9		breq1 2627	. . . . . . . 8 |- (x = (|_` A) -> (x <_ A <-> (|_` A) <_ A))
10	9	elrab 1908	. . . . . . 7 |- ((|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> ((|_` A) e. ZZ /\ (|_` A) <_ A))
11	8, 10	sylibr 200	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A})
12		ne0i 2289	. . . . . 6 |- ((|_` A) e. {x e. ZZ | x <_ A} -> {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/))
13	11, 12	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/))
14		breq2 2628	. . . . . . . 8 |- (y = (|_` A) -> (z <_ y <-> z <_ (|_` A)))
15	14	ralbidv 1666	. . . . . . 7 |- (y = (|_` A) -> (A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y <-> A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A)))
16	15	rcla4ev 1880	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. RR /\ A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A)) -> E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y)
17		flreclt 6229	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
18		flget 6235	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ z e. ZZ) -> (z <_ A <-> z <_ (|_` A)))
19	18	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ z e. ZZ) -> (z <_ A -> z <_ (|_` A)))
20	19	expimpd 375	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> ((z e. ZZ /\ z <_ A) -> z <_ (|_` A)))
21		breq1 2627	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x <_ A <-> z <_ A))
22	21	elrab 1908	. . . . . . . 8 |- (z e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> (z e. ZZ /\ z <_ A))
23	20, 22	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (z e. {x e. ZZ | x <_ A} -> z <_ (|_` A)))
24	23	r19.21aiv 1716	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ (|_` A))
25	16, 17, 24	sylanc 473	. . . . 5 |- (A e. RR -> E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y)
26	5, 13, 25	3jca 821	. . . 4 |- (A e. RR -> ({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y))
27	1, 26, 11	sylanc 473	. . 3 |- (A e. RR -> (|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
28		suprnub 6060	. . . 4 |- ((({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) /\ ((|_` A) e. RR /\ A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w)) -> -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
29		flget 6235	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A <-> w <_ (|_` A)))
30		lenltt 5522	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. RR /\ (|_` A) e. RR) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
31		zret 6141	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. ZZ -> w e. RR)
32	30, 31, 17	syl2an 456	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. ZZ /\ A e. RR) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
33	32	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ (|_` A) <-> -. (|_` A) < w))
34	29, 33	bitrd 530	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A <-> -. (|_` A) < w))
35	34	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ w e. ZZ) -> (w <_ A -> -. (|_` A) < w))
36	35	expimpd 375	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((w e. ZZ /\ w <_ A) -> -. (|_` A) < w))
37		breq1 2627	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (x <_ A <-> w <_ A))
38	37	elrab 1908	. . . . . . 7 |- (w e. {x e. ZZ | x <_ A} <-> (w e. ZZ /\ w <_ A))
39	36, 38	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (w e. {x e. ZZ | x <_ A} -> -. (|_` A) < w))
40	39	r19.21aiv 1716	. . . . 5 |- (A e. RR -> A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w)
41	17, 40	jca 288	. . . 4 |- (A e. RR -> ((|_` A) e. RR /\ A.w e. {x e. ZZ | x <_ A} -. (|_` A) < w))
42	28, 26, 41	sylanc 473	. . 3 |- (A e. RR -> -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))
43	27, 42	jca 288	. 2 |- (A e. RR -> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < )))
44		eqleltt 5531	. . 3 |- (((|_` A) e. RR /\ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR) -> ((|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) <-> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))))
45		suprcl 6057	. . . 4 |- (({x e. ZZ | x <_ A} (_ RR /\ {x e. ZZ | x <_ A} =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. {x e. ZZ | x <_ A}z <_ y) -> sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR)
46	45, 5, 13, 25	syl3anc 860	. . 3 |- (A e. RR -> sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) e. RR)
47	44, 17, 46	sylanc 473	. 2 |- (A e. RR -> ((|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) <-> ((|_` A) <_ sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ) /\ -. (|_` A) < sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))))
48	43, 47	mpbird 196	1 |- (A e. RR -> (|_` A) = sup({x e. ZZ | x <_ A}, RR, < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  supcsup 4582  RRcr 5245   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  |_cfl 6225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226

Copyright terms: Public domain