Theorem flvalt 6227

Description: Value of the floor (greatest integer) function. The floor of A is the (unique) integer less than or equal to A whose successor is strictly greater than A.

Assertion

Ref	Expression
flvalt	|- (A e. RR -> (|_` A) = U.{x e. ZZ | (x <_ A /\ A < (x + 1))})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem flvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2628	. . . . 5 |- (y = A -> (x <_ y <-> x <_ A))
2		breq1 2627	. . . . 5 |- (y = A -> (y < (x + 1) <-> A < (x + 1)))
3	1, 2	anbi12d 630	. . . 4 |- (y = A -> ((x <_ y /\ y < (x + 1)) <-> (x <_ A /\ A < (x + 1))))
4	3	rabbisdv 1810	. . 3 |- (y = A -> {x e. ZZ | (x <_ y /\ y < (x + 1))} = {x e. ZZ | (x <_ A /\ A < (x + 1))})
5	4	unieqd 2516	. 2 |- (y = A -> U.{x e. ZZ | (x <_ y /\ y < (x + 1))} = U.{x e. ZZ | (x <_ A /\ A < (x + 1))})
6		df-fl 6226	. 2 |- |_ = {<.y, z>. | (y e. RR /\ z = U.{x e. ZZ | (x <_ y /\ y < (x + 1))})}
7		zex 6146	. . . 4 |- ZZ e. V
8	7	rabex 2730	. . 3 |- {x e. ZZ | (x <_ A /\ A < (x + 1))} e. V
9	8	uniex 2876	. 2 |- U.{x e. ZZ | (x <_ A /\ A < (x + 1))} e. V
10	5, 6, 9	fvopab4 3786	1 |- (A e. RR -> (|_` A) = U.{x e. ZZ | (x <_ A /\ A < (x + 1))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  |_cfl 6225

This theorem is referenced by:  flclt 6228  flleltt 6230  flbit 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-neg 5370  df-z 6138  df-fl 6226

Copyright terms: Public domain