Theorem fmamo 10727

Description: A functor is a mapping between morphisms.

Hypotheses

Ref	Expression
fmamo.1	|- M1 = dom (dom` T)
fmamo.2	|- M2 = dom (dom` U)

Assertion

Ref	Expression
fmamo	|- ((T e. Cat /\ U e. Cat) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> F:M1-->M2))

Proof of Theorem fmamo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . . 6 |- dom (id` T) = dom (id` T)
2		fmamo.1	. . . . . 6 |- M1 = dom (dom` T)
3		eqid 1478	. . . . . 6 |- (dom` T) = (dom` T)
4		eqid 1478	. . . . . 6 |- (cod` T) = (cod` T)
5		eqid 1478	. . . . . 6 |- (id` T) = (id` T)
6		eqid 1478	. . . . . 6 |- (o` T) = (o` T)
7		eqid 1478	. . . . . 6 |- dom (id` U) = dom (id` U)
8		fmamo.2	. . . . . 6 |- M2 = dom (dom` U)
9		eqid 1478	. . . . . 6 |- (dom` U) = (dom` U)
10		eqid 1478	. . . . . 6 |- (cod` U) = (cod` U)
11		eqid 1478	. . . . . 6 |- (id` U) = (id` U)
12		eqid 1478	. . . . . 6 |- (o` U) = (o` U)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	isfunb 10726	. . . . 5 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> (F e. (Func` <.T, U>.) <-> (F:M1-->M2 /\ (A.z e. dom (id` T)E.w e. dom (id` U)(F` ((id` T)` z)) = ((id` U)` w) /\ (A.x e. M1 (F` ((id` T)` ((dom` T)` x))) = ((id` U)` ((dom` U)` (F` x))) /\ A.x e. M1 (F` ((id` T)` ((cod` T)` x))) = ((id` U)` ((cod` U)` (F` x)))) /\ A.x e. M1 A.y e. M1 (((cod` T)` y) = ((dom` T)` x) -> (F` (x(o` T)y)) = ((F` x)(o` U)(F` y)))))))
14	13	pm3.26bda 422	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> F:M1-->M2)
15	14	ex 373	. . 3 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. (Func` <.T, U>.)) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> F:M1-->M2))
16	15	3expia 837	. 2 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> F:M1-->M2)))
17	16	pm2.43d 65	1 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat) -> (F e. (Func` <.T, U>.) -> F:M1-->M2))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649  <.cop 2415  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  domcdom_ 10615  codccod_ 10616  idcid_ 10617  oco_ 10618  Catccat 10656  Funccfunc 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-map 4330  df-func 10724

Copyright terms: Public domain