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Theorem fmuldfeqlem1 27800
Description: induction step for the proof of fmuldfeq 27801. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1  |-  F/ f
ph
fmuldfeqlem1.2  |-  F/ g
ph
fmuldfeqlem1.3  |-  F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeqlem1.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeqlem1.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeqlem1.8  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmuldfeqlem1.10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
fmuldfeqlem1.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( N  +  1
) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, N, t    U, f, t    f, Y, g    t, i, U   
i, M
Allowed substitution hints:    ph( t, f, g, i)    P( t, f, g, i)    T( i)    U( g)    F( t, f, g, i)    M( t, f, g)    N( g, i)    Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables  h  l  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6142 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
21mptex 6002 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
3 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
43fvmpt2 5848 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
52, 4mpan2 654 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
6 fveq2 5763 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
76fveq1d 5765 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
87cbvmptv 4331 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) )
95, 8syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
109adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
11 fveq2 5763 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( U `  j )  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
1211fveq1d 5765 . . . . 5  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( U `  j
) `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
1312adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  j  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
14 fmuldfeqlem1.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
1514adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
16 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
1716, 14ffvelrnd 5907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
1817ancli 536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) )
19 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ f
( U `  ( N  +  1 ) )
20 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ f
ph
21 nfv 1631 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
2220, 21nfan 1849 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
23 nfv 1631 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR
2422, 23nfim 1835 . . . . . . 7  |-  F/ f ( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
25 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
) )
2625anbi2d 686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) ) )
27 feq1 5611 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
2826, 27imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
29 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
3019, 24, 28, 29vtoclgf 3019 . . . . . 6  |-  ( ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
3117, 18, 30sylc 59 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
3231fnvinran 27773 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
3310, 13, 15, 32fvmptd 5846 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
3433oveq2d 6133 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( F `  t ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
35 fmuldfeqlem1.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
36 elfzuz 11093 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
38 seqp1 11376 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
3937, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  ( ( F `
 t ) `  ( N  +  1
) ) ) )
4039adantr 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
41 seqp1 11376 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) P ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )
4237, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) ) )
43 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
44 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
45 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ l
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
46 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
47 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
48 fveq1 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
49 fveq1 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
5048, 49oveqan12d 6136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
5150mpteq2dv 4327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
5244, 45, 46, 47, 51cbvmpt2 6187 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
5343, 52eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) ) )
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) ) )
55 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
1
56 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t Y
57 nfmpt1 4329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5856, 56, 57nfmpt2 6178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5943, 58nfcxfr 2576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t P
60 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U
6155, 59, 60nfseq 11371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  seq  1 ( P ,  U )
62 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t N
6361, 62nffv 5770 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
6463nfeq2 2590 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)
65 nfv 1631 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  l  =  ( U `
 ( N  + 
1 ) )
6664, 65nfan 1849 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
67 fveq1 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
6867ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
69 fveq1 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
l `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
7069ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( l `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
7168, 70oveq12d 6135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
)  =  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
7266, 71mpteq2da 4325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
7372adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( h  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
74 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)
75 3simpc 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
76 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
h
77 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
h
78 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
l
79 nfv 1631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f  h  e.  Y
80 nfv 1631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f  g  e.  Y
8120, 79, 80nf3an 1852 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
82 nfv 1631 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
8381, 82nfim 1835 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)
84 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
85 nfv 1631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  h  e.  Y
86 nfv 1631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  l  e.  Y
8784, 85, 86nf3an 1852 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
88 nfv 1631 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
8987, 88nfim 1835 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
90 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
91903anbi2d 1260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
9248oveq1d 6132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
9392mpteq2dv 4327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
9493eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
9591, 94imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
96 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
97963anbi3d 1261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
9849oveq2d 6133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9998mpteq2dv 4327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
10099eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
10197, 100imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
102 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
10376, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102vtocl2gf 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
10475, 103mpcom 35 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
105 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
10653, 74, 35, 16, 104, 105fmulcl 27799 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
107 mptexg 6001 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  _V )
108105, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )  e. 
_V )
10954, 73, 106, 17, 108ovmpt2d 6237 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
11042, 109eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
111110fveq1d 5765 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  ( N  +  1 ) ) `
 t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )
112111adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) `  t ) )
113 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
114106ancli 536 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) )
115 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
1
116 nfmpt21 6176 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
11743, 116nfcxfr 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f P
118 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f U
119115, 117, 118nfseq 11371 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f  seq  1 ( P ,  U )
120 nfcv 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f N
121119, 120nffv 5770 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )
122121nfel1 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y
12320, 122nfan 1849 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y )
124 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f T
125 nfcv 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f RR
126121, 124, 125nff 5624 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR
127123, 126nfim 1835 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR )
128 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f  e.  Y  <->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
) )
129128anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ph  /\  f  e.  Y )  <->  (
ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) ) )
130 feq1 5611 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f : T --> RR 
<->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR ) )
131129, 130imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  seq  1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <->  ( ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) ) )
132121, 127, 131, 29vtoclgf 3019 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y  ->  ( ( ph  /\  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) )
133106, 114, 132sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR )
134133fnvinran 27773 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  e.  RR )
135134, 32remulcld 9154 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR )
136 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
137136fvmpt2 5848 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
)  =  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
138113, 135, 137syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) `  t )  =  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
139112, 138eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  ( ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
140 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
141140oveq1d 6132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
142141adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
143139, 142eqtrd 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
14434, 40, 1433eqtr4rd 2486 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( N  +  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   F/wnf 1554    = wceq 1654    e. wcel 1728   F/_wnfc 2566   _Vcvv 2965    e. cmpt 4297   -->wf 5485   ` cfv 5489  (class class class)co 6117    e. cmpt2 6119   RRcr 9027   1c1 9029    + caddc 9031    x. cmul 9033   ZZ>=cuz 10526   ...cfz 11081    seq cseq 11361
This theorem is referenced by:  fmuldfeq  27801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-seq 11362
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