Theorem fn0 3611

Description: A function with empty domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
fn0	|- (F Fn (/) <-> F = (/))

Proof of Theorem fn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fndm 3593	. . . . 5 |- (F Fn (/) -> dom F = (/))
2		noel 2287	. . . . . . . . . 10 |- -. x e. (/)
3		eleq2 1538	. . . . . . . . . 10 |- (dom F = (/) -> (x e. dom F <-> x e. (/)))
4	2, 3	mtbiri 719	. . . . . . . . 9 |- (dom F = (/) -> -. x e. dom F)
5		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6	5	eldm2 3314	. . . . . . . . . 10 |- (x e. dom F <-> E.y<.x, y>. e. F)
7	6	negbii 187	. . . . . . . . 9 |- (-. x e. dom F <-> -. E.y<.x, y>. e. F)
8	4, 7	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (dom F = (/) -> -. E.y<.x, y>. e. F)
9		alnex 1035	. . . . . . . 8 |- (A.y -. <.x, y>. e. F <-> -. E.y<.x, y>. e. F)
10	8, 9	sylibr 200	. . . . . . 7 |- (dom F = (/) -> A.y -. <.x, y>. e. F)
11	10	19.21bi 1062	. . . . . 6 |- (dom F = (/) -> -. <.x, y>. e. F)
12		noel 2287	. . . . . 6 |- -. <.x, y>. e. (/)
13	11, 12	jctir 293	. . . . 5 |- (dom F = (/) -> (-. <.x, y>. e. F /\ -. <.x, y>. e. (/)))
14		pm5.21 679	. . . . 5 |- ((-. <.x, y>. e. F /\ -. <.x, y>. e. (/)) -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
15	1, 13, 14	3syl 20	. . . 4 |- (F Fn (/) -> (<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
16	15	19.21aivv 1289	. . 3 |- (F Fn (/) -> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/)))
17		fnrel 3592	. . . . 5 |- (F Fn (/) -> Rel F)
18		rel0 3278	. . . . 5 |- Rel (/)
19	17, 18	jctir 293	. . . 4 |- (F Fn (/) -> (Rel F /\ Rel (/)))
20		eqrel 3256	. . . 4 |- ((Rel F /\ Rel (/)) -> (F = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/))))
21	19, 20	syl 10	. . 3 |- (F Fn (/) -> (F = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. F <-> <.x, y>. e. (/))))
22	16, 21	mpbird 196	. 2 |- (F Fn (/) -> F = (/))
23		df-fn 3199	. . . 4 |- ((/) Fn (/) <-> (Fun (/) /\ dom (/) = (/)))
24		fun0 3550	. . . 4 |- Fun (/)
25		dm0 3329	. . . 4 |- dom (/) = (/)
26	23, 24, 25	mpbir2an 732	. . 3 |- (/) Fn (/)
27		fneq1 3588	. . 3 |- (F = (/) -> (F Fn (/) <-> (/) Fn (/)))
28	26, 27	mpbiri 194	. 2 |- (F = (/) -> F Fn (/))
29	22, 28	impbi 157	1 |- (F Fn (/) <-> F = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  (/)c0 2283  <.cop 2415  dom cdm 3176  Rel wrel 3181  Fun wfun 3182   Fn wfn 3183

This theorem is referenced by:  f0 3662  f00 3663  f1o00 3720  fo00 3721  fconstfv 3855  map0e 4348  ixp0x 4365  hon0 9714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-fun 3198  df-fn 3199

Copyright terms: Public domain