Theorem fneq1 3574

Description: Equality theorem for function predicate with domain.

Assertion

Ref	Expression
fneq1	|- (F = G -> (F Fn A <-> G Fn A))

Proof of Theorem fneq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funeq 3527	. . 3 |- (F = G -> (Fun F <-> Fun G))
2		dmeq 3306	. . . 4 |- (F = G -> dom F = dom G)
3	2	eqeq1d 1480	. . 3 |- (F = G -> (dom F = A <-> dom G = A))
4	1, 3	anbi12d 627	. 2 |- (F = G -> ((Fun F /\ dom F = A) <-> (Fun G /\ dom G = A)))
5		df-fn 3188	. 2 |- (F Fn A <-> (Fun F /\ dom F = A))
6		df-fn 3188	. 2 |- (G Fn A <-> (Fun G /\ dom G = A))
7	4, 5, 6	3bitr4g 554	1 |- (F = G -> (F Fn A <-> G Fn A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954  dom cdm 3165  Fun wfun 3171   Fn wfn 3172

This theorem is referenced by:  fn0 3597  fnopabg 3607  feq1 3612  foeq1 3659  f1oun 3697  f1o00 3705  f1osn 3710  fnopabfv 3749  tfrlem3 3904  tfrlem10 3911  tfrlem12 3913  abianfp 3953  curry1 4088  mapval2 4325  elixp2 4339  en2d 4387  pw2en 4432  mapxpen 4481  unblem4 4526  inf3lem6 4598  r1fnon 4630  aceq3lem 4712  aceq4 4714  alephfnon 4842  alephfplem4 4879  alephfp 4880  om2uzran 6245  om2uzf1o 6246  shftfn 6288  seqzfn 6479  seq0fn 6486  dfseq0 6503  neif 7665  grpinvf 8029  resgrprnOLD 8046  ghgrpilem4 8088  0vfval 8177  circgrpOLD 8677

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-fun 3187  df-fn 3188

Copyright terms: Public domain