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Theorem fnessref 26396
Description: A cover is finer iff it has a subcover which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fnessref.1  |-  X  = 
U. A
fnessref.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
fnessref  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem fnessref
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 26370 . . . . . . 7  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 4746 . . . . . 6  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  B  e.  _V )
4 rabexg 4180 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
6 fnessref.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. A
76eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  X  <->  t  e.  U. A )
8 eluni 3846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  U. A  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
97, 8bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  X  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
10 fnessex 26378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) )
11103expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A )  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
1211adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
13 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
1413rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  A  /\  x  C_  z )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
1514ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  A  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1615adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1716anim2d 548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
1817reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
1912, 18syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2019ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  A  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) ) )
2120com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) ) )
2221imp3a 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2322exlimdv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( E. z ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
249, 23syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
25 elunirab 3856 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
2624, 25syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  t  e.  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
2726ssrdv 3198 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  C_  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
28 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B
29 uniss 3864 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  ->  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  U. B )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  U. B
31 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  Y )
32 fnessref.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. B
3331, 32syl6req 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. B  =  X
)
3430, 33syl5sseq 3239 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  X )
3527, 34eqssd 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
36 fnessex 26378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
37363expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A Fne B  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z
) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
3837adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
39 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
4039a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
)
41 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
w  C_  y  <->  w  C_  z
) )
4241rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  C_  z )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y )
4342expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4443ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4544com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  (
( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4645ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4740, 46jcad 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) ) )
48 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
x  C_  y  <->  w  C_  y
) )
4948rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
5049elrab 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
5147, 50syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5352a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5451, 53jcad 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
5554reximdv2 2665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5638, 55mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5756ralrimivva 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
58 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }
596, 58isfne2 26374 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
603, 4, 593syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Fne {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6135, 57, 60mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
62 sseq1 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  z  C_  y ) )
6362rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
6463elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
65 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  w ) )
6665cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  <->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6766biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6867adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z 
C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6968a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
7064, 69syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  E. w  e.  A  z 
C_  w ) )
7170ralrimiv 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w )
726, 58isref 26382 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Ref { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
733, 4, 723syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Ref {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
7435, 71, 73mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Ref { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
75 brin 4086 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A Ref { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
7661, 74, 75sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A ( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
7776, 28jctil 523 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  A
( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
78 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c  C_  B 
<->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B ) )
79 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( A ( Fne  i^i  Ref )
c  <->  A ( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
8078, 79anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( c 
C_  B  /\  A
( Fne  i^i  Ref )
c )  <->  ( {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) ) )
8180spcegv 2882 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) ) )
825, 77, 81sylc 56 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) )
8382ex 423 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  ->  E. c
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
84 inss1 3402 . . . . . . 7  |-  ( Fne 
i^i  Ref )  C_  Fne
8584ssbri 4081 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  A Fne c )
8685ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Fne c
)
87 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. c  =  U. c
886, 87fnebas 26376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A Fne c  ->  X  =  U. c )
8985, 88syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  X  =  U. c )
9089ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  U. c )
91 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  Y )
9290, 91eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  U. c  =  Y )
9392, 32syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  U. c  =  U. B )
94 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
9594uniex 4532 . . . . . . . 8  |-  U. c  e.  _V
9693, 95syl6eqelr 2385 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  U. B  e.  _V )
97 uniexb 4579 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
9896, 97sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  B  e.  _V )
99 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  c  C_  B
)
10087, 32fness 26385 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  c  C_  B  /\  U. c  =  Y )  ->  c Fne B )
10198, 99, 92, 100syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  c Fne B
)
102 fnetr 26389 . . . . 5  |-  ( ( A Fne c  /\  c Fne B )  ->  A Fne B )
10386, 101, 102syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Fne B
)
104103ex 423 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c )  ->  A Fne B ) )
105104exlimdv 1626 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( c  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c )  ->  A Fne B
) )
10683, 105impbid 183 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   Fnecfne 26362   Refcref 26363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-fne 26366  df-ref 26367
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