Theorem fniinfv 3757

Description: The indexed intersection of a function's values is the intersection of its range.

Assertion

Ref	Expression
fniinfv	|- (F Fn A -> |^|_x e. A (F` x) = |^|ran F)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem fniinfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrnfv 3750	. . 3 |- (F Fn A -> ran F = {y | E.x e. A y = (F` x)})
2	1	inteqd 2533	. 2 |- (F Fn A -> |^|ran F = |^|{y | E.x e. A y = (F` x)})
3		fvex 3723	. . 3 |- (F` x) e. V
4	3	dfiin2 2583	. 2 |- |^|_x e. A (F` x) = |^|{y | E.x e. A y = (F` x)}
5	2, 4	syl6reqr 1523	1 |- (F Fn A -> |^|_x e. A (F` x) = |^|ran F)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954  {cab 1461  E.wrex 1643  |^|cint 2528  |^|_ciin 2562  ran crn 3166   Fn wfn 3172  ` cfv 3177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain