MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fniunfv Unicode version

Theorem fniunfv 5707
Description: The indexed union of a function's values is the union of its range. Compare Definition 5.4 of [Monk1] p. 50. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
fniunfv  |-  ( F  Fn  A  ->  U_ x  e.  A  ( F `  x )  =  U. ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem fniunfv
StepHypRef Expression
1 fnrnfv 5503 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
21unieqd 3812 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  U. ran  F  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
3 fvex 5472 . . 3  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43dfiun2 3911 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( F `  x )  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }
52, 4syl6reqr 2309 1  |-  ( F  Fn  A  ->  U_ x  e.  A  ( F `  x )  =  U. ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619   {cab 2244   E.wrex 2519   U.cuni 3801   U_ciun 3879   ran crn 4662    Fn wfn 4668   ` cfv 4673
This theorem is referenced by:  funiunfv  5708  dffi3  7152  marypha2  7160  jech9.3  7454  hsmexlem5  8024  wuncval2  8337  dprdspan  15224  tgcmp  17090  txcmplem1  17297  txcmplem2  17298  xkococnlem  17315  alexsubALT  17707  bcth3  18715  ovolfioo  18789  ovolficc  18790  voliunlem2  18870  voliunlem3  18871  volsup  18875  uniiccdif  18895  uniioovol  18896  uniiccvol  18897  uniioombllem2  18900  uniioombllem4  18903  volsup2  18922  itg1climres  19031  itg2monolem1  19067  itg2gt0  19077  dftrpred2  23591  sallnei  24896  hbt  26701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-fv 4689
  Copyright terms: Public domain W3C validator