MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpti Structured version   Unicode version

Theorem fnmpti 5565
Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fnmpti.1  |-  B  e. 
_V
fnmpti.2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpti  |-  F  Fn  A
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)

Proof of Theorem fnmpti
StepHypRef Expression
1 fnmpti.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
21rgenw 2765 . 2  |-  A. x  e.  A  B  e.  _V
3 fnmpti.2 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5562 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4mpbi 200 1  |-  F  Fn  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    e. cmpt 4258    Fn wfn 5441
This theorem is referenced by:  dmmpti  5566  fconst  5621  dffn5  5764  eufnfv  5964  idref  5971  offn  6308  caofinvl  6323  fo1st  6358  fo2nd  6359  reldm  6390  mapsnf1o2  7053  unfilem2  7364  fidomdm  7380  pwfilem  7393  noinfep  7606  aceq3lem  7993  dfac4  7995  ackbij2lem2  8112  cfslb2n  8140  axcc2lem  8308  konigthlem  8435  rankcf  8644  tskuni  8650  seqf1o  11356  ccatlen  11736  swrdlen  11762  sqrf  12159  fsumrev  12554  fsumshft  12555  efcvgfsum  12680  prmreclem2  13277  1arith  13287  vdwlem6  13346  vdwlem8  13348  slotfn  13475  topnfn  13645  fnmre  13808  cidffn  13895  cidfn  13896  funcres  14085  yonedainv  14370  fn0g  14700  grpinvfn  14837  conjnmz  15031  odf  15167  sylow1lem4  15227  pgpssslw  15240  sylow2blem3  15248  sylow3lem2  15254  cygctb  15493  dprd2da  15592  fnmgp  15642  rlmfn  16255  asclfn  16387  fncld  17078  hauseqlcld  17670  kqf  17771  filunirn  17906  fmf  17969  txflf  18030  clsnsg  18131  tgpconcomp  18134  divstgpopn  18141  divstgplem  18142  ustfn  18223  xmetunirn  18359  met1stc  18543  ovolf  19370  vitali  19497  i1fmulc  19587  mbfi1fseqlem4  19602  itg2seq  19626  itg2monolem1  19634  i1fibl  19691  fncpn  19811  lhop1lem  19889  evlslem1  19928  mdegxrf  19983  aannenlem3  20239  logccv  20546  padicabvf  21317  fngid  21794  grpoinvf  21820  occllem  22797  pjfni  23195  pjmfn  23209  rnbra  23602  bra11  23603  kbass2  23612  hmopidmchi  23646  xppreima2  24052  abfmpunirn  24056  dmct  24098  ofcfn  24475  sxbrsigalem3  24614  fprodshft  25292  fprodrev  25293  faclimlem1  25354  mptelee  25826  mblfinlem  26234  volsupnfl  26241  cnambfre  26245  itg2addnclem2  26247  itg2addnclem3  26248  ftc1anclem5  26274  ftc1anclem7  26276  sdclem2  26437  prdsbnd2  26495  rrncmslem  26532  rmxypairf1o  26965  frlmup4  27221  hbtlem6  27301  dgraaf  27320  psgnfn  27392  cytpfn  27495  addrfn  27644  subrfn  27645  mulvfn  27646  ccatvalfn  28151  swrdvalfn  28158  swrdswrd  28165  diafn  31769  cdlemm10N  31853  dibfna  31889  lcfrlem9  32285  mapd1o  32383  hdmapfnN  32567  hgmapfnN  32626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-fun 5448  df-fn 5449
  Copyright terms: Public domain W3C validator