Theorem fnopab2 3624

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fnopab2.1	|- B e. V
fnopab2.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
fnopab2	|- F Fn A

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem fnopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnopab2.1	. . . 4 |- B e. V
2	1	eueq1 1920	. . 3 |- E!y y = B
3	2	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> E!y y = B)
4		fnopab2.2	. 2 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
5	3, 4	fnopab 3623	1 |- F Fn A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E!weu 1382  Vcvv 1814  {copab 2671   Fn wfn 3183

This theorem is referenced by:  dmopab2 3625  fnopabfv 3764  rnssopab 3831  fopabco 3838  fopabcos 3839  fopabsn 3846  funiunfv 3872  fo1st 4097  fo2nd 4098  curry1 4104  pw2en 4452  mapxpen 4501  unfilem2 4561  pwfilem 4577  pwfilemOLD 4578  aceq3lem 4742  aceq4 4744  ac6lem 4764  iundom 4822  cffnon 4919  seq1fnlem 6314  shftfn 6344  ref 6760  imf 6761  caucvg3 7167  cvgcmp2 7181  cvgcmp2c 7183  cvgcmp3ce 7187  geolimi 7236  eff 7313  reeff1o 7426  sinf 7440  cosf 7441  0vfval 8221  vsfval 8250  ipasslem8 8493  ubthlem6 8530  htthlem11 8626  sincolem 8660  efghgrpilem 8714  efif 8716  shftefif1olem 8736  pjfn 9641  pjmfn 9655  bra11 10036

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199

Copyright terms: Public domain