Theorem fnopfvb 3745

Description: Equivalence of function value and ordered pair membership.

Hypothesis

Ref	Expression
fnfvbr.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
fnopfvb	|- ((F Fn A /\ B e. A) -> ((F` B) = C <-> <.B, C>. e. F))

Proof of Theorem fnopfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfvbr.1	. . 3 |- C e. V
2	1	fnbrfvb 3744	. 2 |- ((F Fn A /\ B e. A) -> ((F` B) = C <-> BFC))
3		df-br 2615	. 2 |- (BFC <-> <.B, C>. e. F)
4	2, 3	syl6bb 535	1 |- ((F Fn A /\ B e. A) -> ((F` B) = C <-> <.B, C>. e. F))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  <.cop 2407   class class class wbr 2614   Fn wfn 3172  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fnopabfv 3749  fnrnfv 3750  fvopab3 3768  eqfnfv 3788  fvi 3833  f1ofveu 3873  tfrlem11 3912  rdglim2 3940  tz7.48-1 3947  oprabval 4014  pw2en 4432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain